1、直观图填一填1.水平放置的平面图形直观图的画法斜二测画法的规则：(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x轴或y轴，两轴交于点O，使xOy45，它们确定的平面表示水平平面(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.2立体图形直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变.判一判1.相等的角在直观图中还相等()2
2、空间几何体的直观图是唯一的()3在斜二侧画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变()4在实物图中取不同的坐标系，所得的直观图有可能不同()5平行于坐标轴的线段的长度在直观图中仍然保持不变()6正方形的直观图还是正方形()7矩形的直观图可能是梯形()8平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系会变化()想一想1.空间几何体的直观图是唯一的吗？提示：不唯一作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不相同2空间几何体的直观图的画法？提示：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一
3、个z轴，表示竖直方向(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致3画水平放置的平面图形的直观图的技巧是什么？提示：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同4平面多边形与其直观图面积间关系是什么？提示：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画
4、法得到的直观图的面积为S直，则有S直S原思考感悟：练一练1.水平放置长方形的直观图可能为下图中的哪一个()ABC D答案：C2水平放置梯形的直观图是()A梯形 B矩形C三角形 D任意四边形答案：A3用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点答案：B4在用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，A_.答案：455在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO为_，面积为_ cm2.答案：矩形8知识点一水平放置的平
5、面图形的画法1如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图OABC，在直观图中梯形的高为_解析：因为OA6，CB2，所以OD2.又因为COD45，所以CD2.梯形的直观图如图，则CD1.所以梯形的高CE.答案：2画出一个边长为4 cm的正三角形的直观图解析：画法：(1)以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，再画对应的x、y轴，使xOy45.(2)在x轴上截取OBOC2 cm，在y轴上截取OAAO，连接AB，AC.(3)擦去辅助线x轴、y轴和点O，则ABC即为正ABC的直观图.知识点二空间几何体直观图的画法3.有
6、一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为5 cm，画出这个正六棱锥的直观图解析：(1)先画出边长为3 cm的正六边形水平放置的直观图，如图所示(2)过正六边形的中心O建立z轴，画出正六棱锥的顶点V，如图所示(3)连接VA，VB，VC，VD，VE，VF，如图所示(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图所示4一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图解析：(1)画轴如图1所示，画x轴、z轴，使xOz90.(2
7、)画圆柱的两底面，在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于3 cm，且OAOB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面在Oz上截取点O，使OO4 cm，过O作Ox的平行线Ox，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面(3)画圆锥的顶点在Oz上截取点P，使PO等于圆锥的高3 cm.(4)成图连接AA，BB，PA，PB，整理得到此几何体的直观图如图2所示知识点三平面图形与其直观图的关系5.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，如图若OB1，那么原ABO的面积与直观图的面积之比为_解析：由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且AOB90，OB1，OA2OA2，所以S
8、AOB12.SABO11，所以原三角形面积与直观图面积之比为21.答案：216.如图是水平放置的三角形的直观图，D为ABC中BC的中点，则原图形中AB，AD，AC三条线段中()A最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AC，最短的是AD解析：因为ABy轴，BCx轴，根据斜二测画法规则，在原图中应有ABBC，所以ABC为B90的直角三角形，所以在AB，AD，AC三条线段中AC最长，AB最短答案：B综合知识直观图7.如图所示，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A8 cm B6 cmC2(1)
9、cmD2(1) cm解析：根据直观图的画法，可得原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，且OB2 cm，OA1 cm，AB3 cm，从而四边形OABC的周长为8 cm，故选A.答案：A8如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AB4 cm，CD2 cm，DAB30，AD3 cm，试画出它的直观图解析：(1)如图所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图所示，画出对应的x轴，y轴，使xAy45.(2)在图中，过D点作DEx轴，垂足为E.在图中，在x轴上取ABAB4 cm，AEAE2.598 cm.过点E作EDy轴，使EDED0.75 cm.
10、再过点D作DCx轴，且使DCDC2 cm.(3)连接AD，BC，并擦去x轴和y轴及其他一些辅助线，如图所示，则四边形ABCD就是所求作的直观图基础达标一、选择题1利用斜二测画法得到的下列结论中，正确的是()两条相交直线的直观图是平行直线两条垂直直线的直观图是垂直直线正方形的直观图是平行四边形梯形的直观图是梯形A BC D解析：两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故错；两条垂直直线的直观图只是相交直线，不是垂直直线，故错；正确答案：B2在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是()角的水平放置的直观图一定是角相等的角在直观图中仍然相等相等的线段在直观图中仍然相等若两条线段平行且相等，则在直观图中对应
11、的两条线段仍然平行且相等同一个平面图形，由于在直角坐标系中的位置不同，它们直观图的形状可能不同A BC D解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角，故正确；由正方形的直观图可排除；由于斜二测画法保持了平行性不变，因此正确；而显然正确故选C.答案：C3根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的Ox，Oy，Oz，则xOy与xOz的度数分别为()A90，90 B45，90C135，90 D45或135，90解析：根据斜二测画法的规则，xOy的度数应为45或135，xOz指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90.答案：D4利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的
12、直观图，可能是下面的()解析：正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项答案：C5用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为()A12 B24C6 D12解析：因为原矩形的面积S6424，所以其直观图的面积为246.答案：C6一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形，则原三角形的面积是()A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析：因为SABCa2sin 60a2，所以SABC2SABCa2.答案：C7如图，AOB为水平放置的AOB的直观图，且OA2，OB3，则AOB的周长为()A12 B10C8 D7解析：根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三
13、角形，底面边长OB3，高OA2OA4，AB5，所以直角三角形OAB的周长为34512.答案：A二、填空题8.如图所示，ABC是水平放置的ABC的斜二测画法得到的直观图，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是_解析：画出原图形如图所示，ABC为直角三角形，显然，AC边最长答案：AC9如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，OC3，BCx轴，则原平面图形的面积为_解析：在直观图中，设BC与y轴的交点为D，则易得OD3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6636.答案：3610一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1
14、的等腰梯形，则这个平面图形的面积是_解析：由题意知，直观图的下底长为1，根据斜二测画法的规则，原平面图形是上底长为1，下底长为1，而高为斜二测直观图中的腰长的2倍的直角梯形，故其面积为2(11)2.故填2.答案：211如图所示，已知用斜二测画法画出的ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为_解析：过C作CMy轴，且交x轴于M.过C作CDx轴，交x轴于D，且CDa.所以CMD45，所以CMa.所以原三角形的高CMa，底边长为a，其面积为Saaa2，或S直观S原，所以S原a2a2.答案：a212在ABC中，AC10 cm，边AC上的高BD10 cm，则其水平放置的直观图的面积
15、为_解析：SABC101050(cm)2，其直观图的面积为SSABC(cm)2.答案： cm2三、解答题13如图，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积解析：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.过点D作y轴的平行线，并截取DA2D1A12.再过点A作x轴的平行线，并截取ABA1B12.连接BC，即得到原图形方法一由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长分别为AB2，CD3，高AD2.所以面积为S25.方法二因为A1B1C1D1
16、2，A1D1OD11，所以梯形A1B1C1D1的高为，故S梯形A1B1C1D1(23)，所以S梯形ABCD2S梯形A1B1C1D15.14.在水平放置的平面内有一个边长为1的正方形ABCD，如图，其中的对角线AC在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积解析：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为AC在水平位置，ABCD为正方形，所以DACACB45，所以在原四边形ABCD中，DAAC，ACBC，因为DA2DA2，ACAC，所以S四边形ABCDACAD2.能力提升15.已知某组合体的三视图如下图所示，试画出该几何体的直观图解析：由该几何体
17、的三视图可知此几何体是一个简单组合体，下方是一个四棱柱，上方是一个四棱锥，并且下方的四棱柱与上方的四棱锥底面重合，可以先画出下方的四棱柱，再画出上方的四棱锥(1)画轴如图所示，画出x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画棱柱的下底面以点O为中点，在x轴上画MN2，在y轴上画EQ1，分别过点M，N作y轴的平行线，过点E，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的下底面(3)画棱柱的侧棱分别以A，B，C，D四个顶点为起点作平行于z轴，长度为1的线段，得四条侧棱AA，BB，CC，DD，顺次连接A，B，C，D.(4)画四棱锥的顶点在Oz上
18、截取线段OP，使OP2.(5)成图连接PA，PB，PC，PD，擦去辅助线，将被遮挡部分改为虚线，可得如图所示的直观图16(1)如图1是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积；(2)如图2所示，若在OA上取点D，且梯形ABCD的面积是S，求梯形ABCD的面积解析：(1)设OCh，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.CBCB，OAOA.过C作CDOA于D，则C Dh.由题意知CD(CBOA)S，即h(CBOA)S.所以原直角梯形面积为S2h(CBOA)h(CBOA)2S.所以梯形OABC的面积为2S.(2)设OCh，画出原图如图所示则OC2h，ADAD，BCBC.则S梯形ABCD(BCAD)OCh(BCAD)，而S梯形ABCD(BCAD)hh(BCAD)S，所以S梯形ABCD2S.