1、第三讲 柯西不等式与排序不等式 课时作业A组基础巩固1已知x2y2z21，则x2y2z的最大值为()A1B2C3 D4解析：由柯西不等式得(x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9，所以3x2y2z3.当且仅当x时，等号成立所以x2y2z的最大值为3.答案：C2n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A1 BnCn2 D解析：设n个正数为x1，x2，xn，由柯西不等式，得(x1x2xn)2(111)2n2.当且仅当x1x2xn时取等号答案：C3设a、b、c为正数，则(abc)()的最小值为()A11 B121C49 D7解析：(abc)2121.答案：B4设a，b，c均为正
2、数且abc9，则的最小值为()A81 B9C7 D49解析：考虑以下两组向量：u，v(，)由(uv)2|u|2|v|2得2(abc)，当且仅当，即a2，b3，c4时取等号，可得9(234)281，所以9.答案：B5设非负实数1，2，n满足12n1，则yn的最小值为()A. BC. D解析：为了利用柯西不等式，注意到(21)(22)(2n)2n(12n)2n1，所以(2n1)(21)(22)(2n)2n2，所以yn，yn.等号当且仅当12n时成立，从而y有最小值.答案：A6同时满足2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82的实数x、y、z的值分别为_，_，_.解析：可令x12x，x23y
3、3，x3z2，则x1x2x318且xxx108，由此及柯西不等式得182(x1x2x3)2(xxx)(121212)1083，上式等号成立的充要条件是x1x2x36x3，y1，z4.所以3,1,4是所求实数x，y，z的值答案：3147已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为_解析：4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，即644e26416ee2.5e216e0，故0e.答案：8设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则_.解析：由柯西不等式
4、知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，当且仅当k时取等号由k2(x2y2z2)22536，解得k.所以k.答案：9已知x，y，zR，且x2y3z4，求x2y2z2的最小值解析：由柯西不等式，得x(2)y(3)z212(2)2(3)2(x2y2z2)，即(x2y3z)214(x2y2z2)，即1614(x2y2z2)所以x2y2z2，当且仅当x，即当x，y，z时，x2y2z2的最小值为.10在ABC中，设其各边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2b2c2)36R2.证明：由正弦定理知2R，(a2b2c2)236R2.B组能力提升1已知x，y，z
5、R，且xyz1，则x2y2z2的最小值是()A1 BC. D2解析：根据柯西不等式，x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2.答案：B2若2ab0，则a的最小值为()A1 B3C8 D12解析：2ab0，2ab0.a(2ab)b3 3.当且仅当2abb，即ab2时等号成立当ab2时，a有最小值3.答案：B3若a，b，c为正数，则的最小值为_解析：由柯西不等式可知，()()( )2329.答案：94已知x，y，zR，且xyz1，则的最小值为_解析：利用柯西不等式由于(xyz)236，所以36.当且仅当x2y2z2，即x，y，z时，等号成立的最小值为36.答案：365已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围解析：(1 1 1 )(121212)()，故的取值范围是，)6已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解析：(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()()29.