1、湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）3的倒数是（）A-13B13C3D32（3分）28=（）A42B4C10D223（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）A2x5B3x3y2C-12x2y3D-13y54（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A对角线垂直且相等B四边都互相垂直C四个角都相等D是轴对称图形，但不是中心对称图形5（3分）关于x的分式方程2x-5x-3=0的解为（）A3B2C2D36（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）位于哪个象限？（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7（3分
2、）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）A2B3C4D58（3分）下列各选项中因式分解正确的是（）Ax21（x1）2Ba32a2+aa2（a2）C2y2+4y2y（y+2）Dm2n2mn+nn（m1）29（3分）如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数y=kx（k0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作ADy轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记AOD、BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）AS1S2+S3BS2S3CS3S2S1DS1S2S3210（3分）从1，1，2，4四个数
3、中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组MKak，bk（其中k1，2S，且将ak，bk与bk，ak视为同一个数组），若满足：对于任意的Miai，bi和Mjai，bj（ij，1iS，1jS）都有ai+biaj+bj，则S的最大值（）A10B6C5D4二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11（3分）若二次函数yax2+bx的图象开口向下，则a 0（填“”或“”或“”）12（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是 13（3分）如图所示，在RtABC中，ACB90，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、
4、BC的中点，若EF1，则AB 14（3分）若a为有理数，且2a的值大于1，则a的取值范围为 15（3分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角EAB的角平分线相交于点P，且ABP60，则APB 度16（3分）如图所示，AB为O的直径，点C在O上，且OCAB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足AEC65，连接AD，则BAD 度17（3分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去
5、追赶，则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人18（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x1处放置反光镜，在y轴处放置一个有缺口的挡板，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB1，在直线x1处放置一个挡板，从点O发出的光线经反光镜反射后，通过缺口AB照射在挡板上，则落在挡板上的光线的长度为 三、解答题（本大题共8小题，共66分）19（6分）计算：|-3|+02cos3020（6分）先化简，再求值：a2-a(a-1)2-a+1a，其中a=1221（8分）小强的爸爸准备驾车外出启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为，且tan=
6、13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MNl1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度22（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）最高气温T（单位：）需求量
7、（单位：杯）T2520025T30250T30400（1）求去年六月份最高气温不低于30的天数；（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25T30（单位：），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？23（8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG（1）求证：DOGCOE；（2）若DG
8、BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM=12，求正方形OEFG的边长24（8分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰OAB的边OB与反比例函数y=mx（m0）的图象相交于点C，其中OBAB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CHx轴于点H（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC=3AP，过点P作PQx轴于点Q，连结OP，记OPQ的面积为SOPQ，设AQt，TOH2SOPQ用t表示T（不需要写出t的取值范围）；当T取最小值时，求m的值25（11分）四边形ABCD是O的圆内接四边形，线段A
9、B是O的直径，连结AC、BD点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且ACHCBD，ADCH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若ACBC，PB=5PD，AB+CD2（5+1）求证：DHC为等腰直角三角形；求CH的长度26（11分）已知二次函数yax2+bx+c（a0）（1）若a1，b2，c1求该二次函数图象的顶点坐标；定义：对于二次函数ypx2+qx+r（p0），满足方程yx的x的值叫做该二次函数的“不动点”求证：二次函数yax2+bx+c有两个不同的“不动点”（2）设b=12c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数yax2+bx+c
10、的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x10，x20，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OCOD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足AFCABCFA的延长线与BC的延长线相交于点P，若PCPA=55a2+1，求二次函数的表达式湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）3的倒数是（）A-13B13C3D3【解答】解：3（-13）1，3的倒数是-13故选：A2（3分）28=（）A42B4C10D22【解答】解：28=16=
11、4故选：B3（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）A2x5B3x3y2C-12x2y3D-13y5【解答】解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；C、-12x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；D、-13y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；故选：C4（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A对角线垂直且相等B四边都互相垂直C四个角都相等D是轴对称图形，但不是中心对称图形【解答】解：A、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；B、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；C、矩形的四个角都相等，
12、正确；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误故选：C5（3分）关于x的分式方程2x-5x-3=0的解为（）A3B2C2D3【解答】解：去分母得：2x65x0，解得：x2，经检验x2是分式方程的解，故选：B6（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）位于哪个象限？（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：点A坐标为（2，3），则它位于第四象限，故选：D7（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）A2B3C4D5【解答】解：当x1时，中位数与平均数相等，则得到：15（x+3+1+6+3）3，解得x2（舍去）；当1x3时，中位数与平均数相等，
13、则得到：15（x+3+1+6+3）3，解得x2；当3x6时，中位数与平均数相等，则得到：15（x+3+1+6+3）3，解得x2（舍去）；当x6时，中位数与平均数相等，则得到：15（x+3+1+6+3）3，解得x2（舍去）所以x的值为2故选：A8（3分）下列各选项中因式分解正确的是（）Ax21（x1）2Ba32a2+aa2（a2）C2y2+4y2y（y+2）Dm2n2mn+nn（m1）2【解答】解：A、x21（x+1）（x1），故此选项错误；B、a32a2+aa2（a1），故此选项错误；C、2y2+4y2y（y2），故此选项错误；D、m2n2mn+nn（m1）2，正确故选：D9（3分）如图所示，
14、在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数y=kx（k0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作ADy轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记AOD、BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）AS1S2+S3BS2S3CS3S2S1DS1S2S32【解答】解：点A、B、C为反比例函数y=kx（k0）上不同的三点，ADy轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，S1=12k，SBOESCOF=12k，SBOESOMESCDFSOME，S3S2，故选：B10（3分）从1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组M
15、Kak，bk（其中k1，2S，且将ak，bk与bk，ak视为同一个数组），若满足：对于任意的Miai，bi和Mjai，bj（ij，1iS，1jS）都有ai+biaj+bj，则S的最大值（）A10B6C5D4【解答】解：1+10，1+21，1+43，1+23，1+45，2+46，ai+bi共有5个不同的值又对于任意的Miai，bi和Mjai，bj（ij，1iS，1jS）都有ai+biaj+bj，S的最大值为5故选：C二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11（3分）若二次函数yax2+bx的图象开口向下，则a0（填“”或“”或“”）【解答】解：二次函数yax2+bx的图象开口向下，a0
16、故答案是：12（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是12【解答】解：布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，摸到白球的概率是612=12；故答案为：1213（3分）如图所示，在RtABC中，ACB90，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF1，则AB4【解答】解：E、F分别为MB、BC的中点，CM2EF2，ACB90，CM是斜边AB上的中线，AB2CM4，故答案为：414（3分）若a为有理数，且2a的值大于1，则a的取值范围为a1且a为有理数【解答】解：根据题意知2a1，解得a1，故
17、答案为：a1且a为有理数15（3分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角EAB的角平分线相交于点P，且ABP60，则APB66度【解答】解：五边形ABCDE为正五边形，EAB108度，AP是EAB的角平分线，PAB54度，ABP60，APB180605466故答案为：6616（3分）如图所示，AB为O的直径，点C在O上，且OCAB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足AEC65，连接AD，则BAD20度【解答】解：连接OD，如图：OCAB，COE90，AEC65，OCE906525，OCOD，ODCOCE25，DOC1802525130，BODDOCCOE40，BAD=
18、12BOD20，故答案为：2017（3分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走250步才能追到速度慢的人【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得：（10060）t100，解得：t2.5，100t1002.5250答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人故答案是：25018（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x1处放置反光镜，在y轴处放
19、置一个有缺口的挡板，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB1，在直线x1处放置一个挡板，从点O发出的光线经反光镜反射后，通过缺口AB照射在挡板上，则落在挡板上的光线的长度为1.5【解答】解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BFGH于点F，过点C作CEGH于点E，则OGHCGE，设GHa，则GF2a，则tanOGHtanCGE，即：OHGH=BFGF，即：1a=12-a，解得：a1，则45，GECE2，yC1+23，当光线反射过点A时，同理可得：yD1.5，落在挡板上的光线的长度CD31.51.5，故答案为1.5三、解答题（本大题共8小题，共66分）19（6分）计算：|
20、-3|+02cos30【解答】解：原式=3+1232=3+1-3 120（6分）先化简，再求值：a2-a(a-1)2-a+1a，其中a=12【解答】解：a2-a(a-1)2-a+1a=a(a-1)(a-1)2-a+1a =aa-1-a+1a =a2-(a-1)(a+1)a(a-1) =a2-a2+1a(a-1) =1a(a-1)，当a=12时，原式=112(12-1)=-421（8分）小强的爸爸准备驾车外出启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为，且tan=13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的
21、水平线l2与地面l1平行（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MNl1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度【解答】解：（1）由题意得，ABC，在RtABC中，AC1.6，tanABCtan=13，BC=ACtanABC=1.613=4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DHBC于H，则四边形ADHC是矩形，ADCHBE0.6，点M是线段BC的中点，BMCM2.4米，EMBMBE1.8，
22、MNBC，MNDH，EMNEHD，MNDH=EMEH，MN1.6=1.84.8，MN0.6，答：障碍物的高度为0.6米22（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）最高气温T（单位：）需求量（单位：杯）T2520025T30250T30400（1）求去年六月份最高气温不低于30的天数；（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元
23、，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25T30（单位：），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？【解答】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30的天数为6+28（天）；（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为3+930=25；（3）25083504+1001730（元），答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元23（8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG（1）求证：DOGCOE；（2）若DGBD，正方形ABCD的边长为2
24、，线段AD与线段OG相交于点M，AM=12，求正方形OEFG的边长【解答】解：（1）正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BDDOOCDBAC，DOADOC90GOE90GOD+DOEDOE+COE90GODCOEGOOE在DOG和COE中DO=OCGOD=COEGD=OE DOGCOE（SAS）（2）如图，过点M作MHDO交DO于点HAM=12，DA2DM=32MDB45MHDHsin45DM=324，DOcos45DA=2HODODH=2-324=24在RtMHO中，由勾股定理得MO=MH2+HO2=(324)2+(24)2=52DGBD，MHDOMHDG易证OHMODGOHOD=M
25、OGO=242=52GO，得GO25则正方形OEFG的边长为2524（8分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰OAB的边OB与反比例函数y=mx（m0）的图象相交于点C，其中OBAB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CHx轴于点H（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC=3AP，过点P作PQx轴于点Q，连结OP，记OPQ的面积为SOPQ，设AQt，TOH2SOPQ用t表示T（不需要写出t的取值范围）；当T取最小值时，求m的值【解答】解：（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：ykx得：42k，解得：k2，故
26、一次函数表达式为：y2x，（2）过点B作BMOA，则OCHQPAOABABM，则tan=12，sin=15，OBAB，则OMAM2，则点A（4，0），设：APa，则OC=3a，在APQ中，sinAPQ=QAPA=ta=sin=15，同理PQ=ttan=2t，则PAa=5t，OC=15t，则点C（3t，23t），TOH2SOPQ（OCsin）2-12（4t）2t4t24t，40，T有最小值，当t=12时，T取得最小值，而点C（3t，23t），故：m=3t23t=3225（11分）四边形ABCD是O的圆内接四边形，线段AB是O的直径，连结AC、BD点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且ACHC
27、BD，ADCH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若ACBC，PB=5PD，AB+CD2（5+1）求证：DHC为等腰直角三角形；求CH的长度【解答】证明：（1）DBCDAC，ACHCBDDACACHADCH，且ADCH四边形ADCH是平行四边形（2）AB是直径ACB90ADB，且ACBCCABABC45，CDBCAB45ADCHADHCHD90，且CDB45CDBDCH45CHDH，且CHD90DHC为等腰直角三角形；四边形ABCD是O的圆内接四边形，ADPPBC，且PPADPCBPADBC=PDPB，且PB=5PD，ADBC=15，ADCH，C
28、HBC=15CDBCAB45，CHDACB90CHDACBCDAB=CHBC=15AB=5CDAB+CD2（5+1）5CD+CD2（5+1）CD2，且DHC为等腰直角三角形CH=226（11分）已知二次函数yax2+bx+c（a0）（1）若a1，b2，c1求该二次函数图象的顶点坐标；定义：对于二次函数ypx2+qx+r（p0），满足方程yx的x的值叫做该二次函数的“不动点”求证：二次函数yax2+bx+c有两个不同的“不动点”（2）设b=12c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x10，x20，与
29、y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OCOD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足AFCABCFA的延长线与BC的延长线相交于点P，若PCPA=55a2+1，求二次函数的表达式【解答】解：（1）a1，b2，c1yx22x1（x1）22该二次函数图象的顶点坐标为（1，2）证明：当yx时，x22x1x整理得：x23x10（3）241（1）130方程x23x10有两个不相等的实数根即二次函数yx22x1有两个不同的“不动点”（2）把b=12c3代入二次函数得：yax2+12c3x+c二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x10，x2
30、0）即x1、x2为方程ax2+12c3x+c0的两个不相等实数根x1+x2=-12c3a=-c32a，x1x2=ca当x0时，yax2+12c3x+ccC（0，c）E（1，0）CE=1+c2，AE1x1，BEx21DFy轴，OCODDFx轴CEEF=OCOD=1EFCE=1+c2，CF21+c2AFCABC，AEFCEBAEFCEBAECE=EFBE，即AEBECEEF（1x1）（x21）1+c2展开得：1+c2x21x1x2+x11+c2=-c32a-1-cac3+2ac2+2c+4a0 c2（c+2a）+2（c+2a）0（c2+2）（c+2a）0c2+20c+2a0，即c2ax1+x2=-8a32a=4a2，x1x2=-2aa=-2，CF21+c2=21+4a2（x1x2）2（x1+x2）24x1x216a4+8ABx2x1=16a4+8=24a4+2AFCABC，PPPFCPBACFAB=PCPA=55a2+121+4a224a4+2=55a2+1解得：a11，a21（舍去）c2a2，b=12c34二次函数的表达式为yx24x2