1、3.3.1函数的单调性与导数1、教材分析“函数单调性与导数”是人教版普通高中课程标准实验教科书数学选修11第三章导数及其应用的内容。本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。根据新课标要求和教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方
2、面为本课的教学目标：2、教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系。2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法。2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。对于函数单调性与导数，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和教学大纲的要求，我确定了本节课的重点和难点。
3、3教学的重点和难点教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。4、教学方法：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。5、教学手段：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。【教学过程】一回顾与思考1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）2
4、、如果遇到函数：y=x3-3x判断单调性呢？还有其他方法吗？二新知探究 函数的单调性与导数之间的关系1、【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区
5、别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数相应地，（2）从最高点到入水，运动员离水面的高随时间的增加而减少，即是减函数相应地，2、【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？【设计意图】新课标强调，要“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行
6、思考。”所以，我在此处让学生借助几何直观理解函数的单调性与导数的关系，并用几何画板动态演示，有效促进了学生探索问题的本质。3、追踪成果 深入探究为突破本节课的难点,我通过继续举例,引导学生进一步探究：探讨：函数的单调性与其导函数正负的关系，进一步引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。通过学案，展示学生的探究成果：函数y=f(x) 函数y=f(x)的单调性y=x函数y=f(x)单调 函数y=f(x)单调 函数y=f(x)单调 函数y=f(x)单调 函数y=f(x)单调 函数y=f(x)单调 函数y=f(x)单调 对所展示的学生
7、成果予以及时的鼓励和肯定。【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？【探究】如图，导数表示函数在点处的切线的斜率在处，切线是“ ”式的，这时，函数在附近单调 ；在处，切线是“ ”式的，这时，函数在附近单调 【设计意图】上述探究所得结论将是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻。而学生只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明不现实。因此，我采用由易到难，逐步过渡的教学策略，让学生进一步直观观察，并借助几何画板动态演示，分析问题的本质。4、归纳结论 揭示本质经历上述探究之后，将学生分成6小组，进行讨论交流，揭示函数的单调性与导数的本质关系，让小组派
8、代表归纳结论。对回答问题的学生进行及时鼓励。在此基础上，我和学生共同完善结论，并板书结论：函数的单调性与其导函数正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f (x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数；若f (x)0，则在f(x)(a，b)上是减函数.若，则为 常数函数（与轴平行）强调正确理解“某个区间”的含义，它必须是在定义域内的某个区间。考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在第二课时探究。三、例题讲解例1已知导函数f (x)的下列信息：当3x5时，f (x)0；当x5时，f (x)0；当x=3或x=2时，f (x)=0
9、.试画出函数 f ( x )图象的大致形状.【设计意图】应用所学，使具体知识形成方法和技能。鼓励学生先自己动手，培养学生积极主动的学习态度.再通过教师示范，培养学生良好的作图习惯.对于学生在分析过程中出现的问题，及时指正.本题是一道开放性的题目，学生的答案也许图象可能向“内”弯曲，可能向“外”弯曲，也可能是条直线. 举典例进行说明：左图是折线图，右图是平滑的曲线，追问：两种做法是否都行呢？35oyxy = f(x) 35oyxy = f(x)解决办法：让学生回顾前面所学习，导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化，而“折点”附近图象升降变化很大，让学生再次动手操作，得到正确图如上，右图.例2
10、.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：【设计意图】求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点.通过例1（1），引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤，并给学生示范；通过例1（2），让学生在黑板解答，进一步规范解题步骤；通过练习，回答本节刚开始提出的问题，解决学生的疑惑.体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性.练习： （2） 分析：（1）学生动手解题，得出单调区间； （2）学生分析求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定定义域； 求、令得实根；间断点与根分区间； 确定各开区间的符号，得出结论。（3） 提出可否直接解关于导函数的不等式，列出、解出。四、课堂小结：1、函数的单调性与导数的关系2、求解函数单调区间五、作业布置：(课本) P93 4， P98 A组 1六、板书设计3.3.1函数的单调性与导数一、 函数单调性与导数的关系二、 利用导数求单调性的步骤三、 多媒体四、 例题讲解例1：例2：
