1、第三章三角恒等变形(时间：90分钟满分：120分)第卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1sin15cos75cos15sin75等于()A0BC. D1解析：sin15cos75cos15sin75sin(1575)sin901.答案：D2设向量a(1，cos)，b(1,2cos)，若ab，则cos2()A1 B0C. D解析：ab，ab12cos2cos20.答案：B3在ABC中，若tanA，tanB2，则角C()A. BC. D解析：tan(AB)1，AB，C.答案：C4已知：函数f(x)sin(x)
2、cos(x)，若对任意实数x都有f(x)f(x)，则可以是()A. BC. D解析：f(x)sin为偶函数，k(kZ)，k，当k取0时，.答案：B5已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为()A. BC. D解析：设底角为，则cos(2)，cos2.又cos212sin2，sin.答案：C6已知x，cos，则tan2x等于()A. BC. D解析：由已知得：sinx，又x，则cosx.所以tanx.tan2x.答案：D7在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形
3、的面积是，则sin2cos2的值等于()A1 BC. D解析：由题意知cossin，4，即sincos.sincos .sin2cos2(sincos)(sincos).答案：B8若sincostan，则的取值范围是()A. BC. D解析：tansincossin，又0，sin1，1tan.答案：C9设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递减Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递增解析：f(x)sin，T，2.f(x)sin.f(x)f(x)，k，kZ.又|，.f(x)sincos2x.则f(x)在上单调递
4、减答案：A10设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，若mn1cos(AB)，则C()A. BC. D解析：由已知得mnsinAcosBcosAsinBsin(AB)1cos(AB)，sinCcosC1，2sin1，sin.0C，C，C，C.答案：C第卷(非选择题，共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11若sin2cos0，则tan_.解析：由sin2cos0，得tan2，tan.答案：12(2017江苏卷)若tan，则tan_.解析：解法一：tan，6tan61tan，tan.解法二：tan，tant
5、an.答案：13已知函数f(x)sinxcosx，则f(1)f(1)_.解析：f(x)sinxcosxsin2x，f(x)为奇函数，f(1)f(1)0.答案：014给出下列命题：存在x，使sinxcosx；存在区间(a，b)，使ycosx为减函数而sinx1，故错误；对于，ycosx的减区间为2k，2k(kZ)，而sinx在这个区间上不小于0，故错误；对于，ycos2xcosx2，当cosx时，有最小值；当cosx1时，有最大值2，且为偶函数，故正确；对于，ysin|x|是偶函数，其图像关于y轴对称，不是周期函数，故错误答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演
6、算步骤)15(12分)已知A(1,0)，B(0,1)，C(cos，sin)，且(0，)(1)O为坐标原点，若|1，求角的大小；(2)若，求cos2的值解：(1)|1，(cos1)2sin21，cos，0，.(2)，(cos1，sin)(cos，sin1)，整理得sincos，sin2.由sincos可知，2，cos2.16(12分)(2017浙江卷)已知函数f(x)sin2xcos2x2sinxcosx(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期的单调递增区间解：(1)f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2xsin2x2sin.f2sin2sin2sin2.(2)由f(
7、x)2sin知，f(x)的最小正周期为.由正弦函数的性质得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.f(x)的单调递增区间是，kZ.17(12分)已知cos，x.(1)求sinx的值；(2)求sin的值解：(1)因为x，所以x，于是sin .sinxsinsincoscossin.(2)因为x.故cosx .sin2x2sinxcosx.cos2x2cos2x1.所以sinsin2xcoscos2xsin.18(14分)已知：m，n且f(x)mn.(1)求f(x)单调递增区间；(2)若g(x)f(x)2sin2xm在区间上有零点，求m的取值范围解：(1)由f(x)mnsinxcosxcos2sin2xsin2x.2k2x2k，kZ，kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)g(x)sin2x(1cos2x)msinm.令g(x)0得，msin，x，2x，sin1， m1，