1、第九章 概率第一节随机事件的概率1概率与频率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)nAn 为事件 A 出现的频率(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)2事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)BA(或 AB)相等关系若 BA 且 AB，那么称事件 A 与
2、事件 B 相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)AB(或 AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或 AB)互斥事件若 AB 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件AB且 AB3概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)0.(4)概率
3、的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 AB 为必然事件P(AB)1，P(A)1P(B)1易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件试一试1甲：A1，A2 是互斥事件；乙：A1，A2 是对立事件，那么()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
4、解析：选 B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立2在 2013 年全国运动会火炬传递活动中，有编号为 1,2,3,4,5 的 5 名火炬手若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()A.310 B.58C.710D.25解析：选 A 从 1,2,3,4,5 中任取三个数的结果有 10 种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，选出的火炬手的编号相连的概率为 P 310.利用集合方法判断互斥事件与对立事件1由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥2事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由
5、事件 A 所含的结果组成的集合的补集练一练1(2014赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是()A.18 B.38C.58D.78解析：选 D 至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故 P11878.2从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A至少有 1 个白球，都是白球B至少有 1 个白球，至少有 1 个红球C恰有 1 个白球，恰有 2 个白球D至少有 1 个白球，都是红球解析：选 C 结合互斥事件和对立事件的定义知，对于 C 中恰有 1 个白球，即 1 白 1 红，与恰有 2 只白球是互斥事件，但不是对立事件，因为还有 2
6、只都是红球的情况，故选 C.考点一事件关系的判断1(2013泉州一模)在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()AAB 与 C 是互斥事件，也是对立事件BBC 与 D 是互斥事件，也是对立事件CAC 与 BD 是互斥事件，但不是对立事件DA 与 BCD 是互斥事件，也是对立事件解析：选 D 由于 A，B，C，D 彼此互斥，且 ABCD 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件2在 5 张电
7、话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 310，那么概率是 710的事件是()A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张移动卡解析：选 A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件，故选 A.3一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C表示向上的一面出现的点数不小于 4，则()AA 与 B 是互斥而非对立事件
8、BA 与 B 是对立事件CB 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件解析：选 D 根据互斥事件与对立事件的意义作答，AB出现点数 1 或 3，事件 A，B 不互斥但不对立；BC，BC，故事件 B，C 是对立事件 类题通法判断事件关系时的注意事项(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系考点二随机事件的概率典例(2013广州模拟)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数(1)求点数之积是 4 的概率；(2)设 a，b 分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子 2ab1 成立的概率解 将一枚骰子先后抛掷两次，向上
9、的点数共有 36 种不同的结果(1)将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数分别记为 a，b，点数之积是 4 对应以下 3 种情况：a1，b4，a4，b1，a2，b2.因此，点数之积是 4 的概率为 P1 336 112.(2)由 2ab1 得 2ab20，ab 0，ab.而将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数相等对应以下 6 种情况：a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，b5，a6，b6.因此，式子 2ab1 成立的概率为 P2 63616.在本例条件不变的情况下求：(1)在得到点数之和不大于 6 的条件下，先后出现的点数中有 3 的概率；(2)两颗骰子向上的点数均大于等于 4 的概率
10、.解：(1)由题意可知，在得到点数之和不大于 6 的条件下，先后出现的点数中有 3 的概率为55432113.(2)此事件对应(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)9 种情况，P 93614.类题通法求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：(1)列举法，(2)列表法，(3)利用树状图列举针对训练(2013江苏高考)现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9)可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为_解析：基本事件总数为 N7963，其中 m，n 都为奇数的事件个数为 M4520，所以所求概
11、率 PMN2063.答案：2063考点三互斥事件与对立事件的概率典例(2014唐山统考)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为()A.16，16 B.12，23C.16，23D.23，12解析“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为 1121316.设“甲不输”为事件 A，则 A 可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以 P(A)161223.(或设“甲不输”为事件 A，则 A 可看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)11323)答案 C类题通法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率
12、分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便针对训练(2013北京东城模拟)有编号为 1,2,3 的三个白球，编号 4,5,6 的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球(1)求取得的两个球颜色相同的概率；(2)求取得的两个球颜色不相同的概率解：从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,
13、5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计 15 个(1)记事件 A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计 3 个，故 P(A)31515；记“取出的两个球是黑球”为事件 B，同理可得 P(B)15.记事件 C 为“取出的两个球的颜色相同”，A，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得 P(C)P(AB)P(A)P(B)25.(2)记事件 D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件 C，D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得 P(D)1P(C)12535.课堂练通考点1围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是
14、黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是()A.17 B.1235C.1735 D1解析：选 C 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A，“从中取出 2 粒都是白子”为事件 B，“任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 CAB，且事件 A 与 B 互斥所以 P(C)P(A)P(B)1712351735.即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为1735.2(2013昆明调研)从 3 个红球、2 个白球中随机取出 2 个球，则取出的 2 个球不全是红球的概率是()A.110 B.310C.710D.35解析：选 C“取出的 2 个球全是红球”记为
15、事件 A，则 P(A)310.因为“取出的 2 个球不全是红球”为事件 A 的对立事件，所以其概率为 P(A)1P(A)1 310 710.3(2013黄冈一模)设集合 AB1,2,3,4,5,6，分别从集合 A 和 B 中随机取数 x 和 y，确定平面上的一个点 P(x，y)，我们记“点 P(x，y)满足条件 x2y216”为事件 C，则 C 的概率为()A.29 B.112C.16D.12解析：选 A 分别从集合 A 和 B 中随机取数 x 和 y，得到(x，y)的可能结果有 36 种情况，满足 x2y216 的(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,
16、3)，(3,1)，(3,2)这 8 种情况，故所求概率为 P(C)83629，故选 A.4(2014潍坊模拟)连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于 m”为事件 A，则 P(A)最大时，m_.解 析：m 可能取 到的值 有 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对 应的基 本事 件个数 依次 为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，两次向上的数字之和等于 7 对应的事件发生的概率最大答案：75(2014绍兴调研)黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人所占的比例/%2829835已知同种血
17、型的人可以互相输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是 B 型血，若他因病需要输血，问(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为 A，B，AB，O 型血分别记为事件 A，B，C，D，它们是互斥的由已知，有 P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35.因为 B，O 型血可以输给 B 型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件 BD，根据概率加法公式，得 P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.
18、(2)由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件 AC，且 P(AC)P(A)P(C)0.280.080.36.课下提升考能第组：全员必做题1从 1,2,3,4,5 中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为()A.15B.25C.35D.45解析：选 B 从 1,2,3,4,5 中随机抽三个不同的数共有(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)共 10 种情况，其中(1,2,4)、(1,3,5)、(2,3,4)、(2,4,5)中三个数字
19、和为奇数，所以概率为25.2甲、乙两人喊拳，每人可以用手出 0,5,10 三个数字，每人则可喊 0,5,10,15,20 五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时喊该数字者获胜，若甲喊 10，乙喊 15 时，则()A甲胜的概率大B乙胜的概率大C甲、乙胜的概率一样大D不能确定谁获胜的概率大解析：选 A 甲、乙两人喊拳，每人用手出 0,5,10 三个数字，有(0,0)，(0,5)，(0,10)，(5,0)，(5,5)，(5,10)，(10,0)，(10,5)，(10,10)，共 9 种情况若甲喊 10，则有(0,10)，(5,5)，(10,0)，共 3 种情况获胜，所以甲胜的概率为13；乙喊
20、 15 时，有(5,10)，(10,5)，共 2 种情况获胜，所以乙胜的概率为29.所以甲胜的概率大3连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为 m，n，向量 a(m，n)与向量 b(1,0)的夹角记为，则 0，4 的概率为()A.518B.512C.12D.712解析：选 B 依题意得 a(m，n)共有 36 种情况，其中与向量 b(1,0)的夹角 0，4需满足nm1，即 mn，则有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(5,4)，(6,4)，(6,5)，共 15 种情况所以所求概率为1536 5
21、12.4在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组1x2，0y2表示的平面区域为 W，从 W 中随机取点 M(x，y)若 xZ，yZ，则点 M 位于第二象限的概率为()A.16B.13C1 D16解析：选 A 画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共 12 个，其中位于第二象限的有(1,1)，(1,2)，共 2 个，所以所求概率 P16.5(2014安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为 b，设两条直线 l1：ax
22、by2 与 l2：x2y2 平行的概率为 P1，相交的概率为 P2，则点 P(36P1,36P2)与圆 C：x2y21 098 的位置关系是()A点 P 在圆 C 上B点 P 在圆 C 外C点 P 在圆 C 内D不能确定解析：选 C 易知当且仅当ab12时两条直线相交，而ab12的情况有三种：a1，b2，此时两直线重合；a2，b4，此时两直线平行；a3，b6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有 36 种，所以两条直线平行的概率 P1 236 118.两条直线相交的概率 P21 3361112，点 P(2,33)，点 P 与圆心(0,0)的距离为 41 089 1 093 1 098，故点
23、P 在圆 C内6某城市 2013 年的空气质量状况如下表所示：污染指数 T3060100110130140概率 P1101613730215130其中污染指数 T50 时，空气质量为优；50T100 时，空气质量为良；1000 就去打球，若 X0 就去唱歌，若 Xa 的概率是()A.45B.35C.25D.15解析：选 D 从1,2,3,4,5中选取一个数 a 有 5 种取法，从1,2,3中选取一个数 b 有 3种取法所以选取两个数 a，b 共有 5315 个基本事件满足 ba 的基本事件共有 3 个因此 ba 的概率 P 31515.2高三(4)班有 4 个学习小组，从中抽出 2 个小组进行
24、作业检查在这个试验中，基本事件的个数为()A2B4C6D8解析：选 C 设这 4 个学习小组为 A，B，C，D，“从中任抽取两个小组”的基本事件有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 个3文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级 A 和获得等级不是 A的机会相等，物理、化学、生物获得等级 A 的事件分别记为 W1，W2，W3，物理、化学、生物获得等级不是 A 的事件分别记为 W 1，W 2，W 3.则该同学参加这次学业水平测试获得两个 A 的概率为()A.38B.18C.35D.45解析：选 A 该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有 8 种，分别
25、为(W1，W2，W3)，(W 1，W2，W3)，(W1，W 2，W3)，(W1，W2，W 3)，(W 1，W 2，W3)，(W 1，W2，W 3)，(W1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)有两个 A 的情况为(W 1，W2，W3)，(W1，W 2，W3)，(W1，W2，W 3)，共 3 种，从而其概率为 P38.4一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是()A.112 B.110C.325D.1125解析：选 D 小正方体三面涂有油漆的有 8 种情况，故所求其概率为81 000
26、1125.5(2014浙江联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为 1，两个编号为 2，三个编号为 3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于 4 的概率是_解析：列举可知，共有 36 种情况，和为 4 的情况有 10 种，所以所求概率 P1036 518.122333123344423445552344555345566634556663455666答案：5186(2014宣武模拟)曲线 C 的方程为x2m2y2n21，其中 m，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件 A“方程x2m2y2n21 表示焦点在 x 轴上的椭圆”，那么
27、P(A)_.解析：试验中所含基本事件个数为 36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉 6 种可能，既然椭圆焦点在 x 轴上，则 mn，又只剩下一半情况，即有 15 种，因此 P(A)1536 512.答案：5127某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级现从一批该零件中随机抽取 20 个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级12345频率0.05m0.150.35n(1)在抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m，n；(2)在(1)的条件下，从等级为 3 和 5 的所有零件中，任意抽取 2 个，求抽取的 2 个零件等级恰好相同的概率解：(
28、1)由频率分布表得 0.05m0.150.35n1，即 mn0.45.由抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，得 n 2200.1，所以 m0.450.10.35.(2)由(1)得，等级为 3 的零件有 3 个，记作 x1，x2，x3；等级为 5 的零件有 2 个，记作 y1，y2.从 x1，x2，x3，y1，y2 中任意抽取 2 个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共 10 种记事件 A 为“从零件 x1，x2，x3，y1，y2 中
29、任取 2 件，其等级相等”则 A 包含的基本事件有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共 4 种故所求概率为 P(A)4100.4.8将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字 0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字 1,2,3,4)同时抛掷 1 次，规定“正方体向上的面上的数字为 a，正四面体的三个侧面上的数字之和为 b”设复数为 zabi.(1)若集合 Az|z 为纯虚数，用列举法表示集合 A；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足 a2(b6)29”的概率解：(1)A6i,7i,8i,9i(2)满足条件的基本事件的个数为 24
30、.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足 a2(b6)29”的事件为 B.当 a0 时，b6,7,8,9 满足 a2(b6)29；当 a1 时，b6,7,8 满足 a2(b6)29；当 a2 时，b6,7,8 满足 a2(b6)29；当 a3 时，b6 满足 a2(b6)29.即 B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计 11个所以所求概率 P1124.第卷：重点选做题1(2013陕西高考)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次根据年龄
31、将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组抽取了 6 人，请将其余各组抽取的人数填入下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若 A，B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为 6%，所以各组抽到的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从 A 组抽到的 3
32、个评委为 a1，a2，a3，其中 a1，a2 支持 1 号歌手；从 B 组抽到的 6个评委为 b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中 b1，b2 支持 1 号歌手从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取 1 人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共 18 种，其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共 4 种，故所求概率 p 41829.2已知集合 Px|x(x210 x24)0，Qy|y2n1，1n2，nN*，MPQ.在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(x，y)，且 xM，yM，试计算：(1)点 A 正好在第三象限的概率；(2)点
33、A 不在 y 轴上的概率；(3)点 A 正好落在区域 x2y210 上的概率解：由集合 Px|x(x210 x24)0可得 P6，4,0，由 Qy|y2n1,1n2，nN*可得 Q1,3，则 MPQ6，4,0,1,3，因为点 A 的坐标为(x，y)，且 xM，yM，所以满足条件的点 A 的所有情况为(6，6)，(6，4)，(6,0)，(6,1)，(6,3)，(3,3)，共 25 种(1)点 A 正好在第三象限的可能情况为(6，6)，(4，6)，(6，4)，(4，4)，共 4 种，故点 A 正好在第三象限的概率 P1 425.(2)点 A 在 y 轴上的可能情况为(0，6)，(0，4)，(0,0
34、)，(0,1)，(0,3)，共 5 种，故点 A不在 y 轴上的概率 P21 52545.(3)点 A 正好落在区域 x2y210 上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)共 8 种，故点 A 落在区域 x2y210 上的概率 P3 825.3(2014莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为 1,2,3,4,5 的五名男记者和编号分别为 6,7,8,9 的四名女记者要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两
35、名记者的编号分别为 x，y，且 xy”(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于 17 但不小于 11 或都是男记者的概率解：(1)共有 36 个基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7
36、,8)，(7,9)，(8,9)，共 36 个(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于 17 但不小于 11”为事件 A，即事件 A 为“x，y1,2,3,4,5,6,7,8,9，且 11xy17，其中 xy”，由(1)可知事件 A 共含有 15 个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共 15 个“都是男记者”记作事件 B，则事件 B 为“xy5”，包含：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5
37、)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 个故 P(A)P(B)153610362536.第三节几何概型1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的概率公式P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的试一试1在长为 6 m 的木棒 AB 上任取一点 P，使点 P 到木棒两端点的距离都大于 2 m 的概率是()A.14 B.1
38、3C.12D.23解析：选 B 将木棒三等分，当 P 位于中间一段时，到两端 A，B 的距离大于 2 m，P2613.2四边形 ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为()A.4B14C.8D18解析：选 B 如图，要使图中的点到 O 的距离大于 1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为 P222 14.几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和
39、纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型(方法参见考点二“类题通法”)练一练1.如图所示，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为_解析：设阴影区域的面积为 S，则 S2223，S83.答案：832若不等式组x24x0，1y2，xy10，表示的平面区域为 M，(x4)2y21 表示的平面区域为 N，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域 N 内的概率是_解析：如图所示：P121212143 15.答案：15 考点一与长度、角度有关的几何概型1(2
40、013石家庄模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.14 B.13C.12D.32解析：选 C 如图，设圆的半径为 r，圆心为 O，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直 AB 的一条弦，垂足为 M，若 CD 为圆内接正三角形的一条边，则 O 到 CD 的距离为r2，设 EF 为与 CD 平行且到圆心 O 距离为r2的弦，交直径 AB 于点 N，所以当过 AB 上的点且垂直AB 的弦的长度超过 CD 时，该点在线段 MN 上变化，所以所求概率 P r2r12.2.(2013北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 3
41、0角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在yOT 内的概率为_解析：如题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，则 OA 落在yOT 内的概率为 6036016.答案：163(2013福建高考)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为_解析：因为 0a1，由 3a10 得130”发生的概率为1131 23.答案：23 类题通法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)考点二与体积有关的几何概型典例(2013深圳二模)
42、一只小蜜蜂在一个棱长为 4 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.18B.116C.127D.2764解析 根据几何概型知识，概率为体积之比，即 P4234318.答案 A类题通法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求针对训练在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概
43、率为()A.12 B1 12C.6D16解析：选 B 正方体的体积为：2228，以 O 为球心，1 为半径且在正方体内部的半球的体积为：1243r312431323，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为：1238 1 12.考点三与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；(2)与线性规划知识交汇命题的问题；(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题角度一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1(2013陕西高考)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号
44、的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A14B.41C24D.4解析：选 A 由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12122，矩形面积为 2，则所求概率为222 14.角度二 与线性规划交汇命题的问题2(2013四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是()A.14B.12C.34D.78解
45、析：选 C 设第一串彩灯亮的时刻为 x，第二串彩灯亮的时刻为 y，则0 x4，0y4，要使两串彩灯亮的时刻相差不超过 2 秒，则0 x4，0y4，2xy2.如图，不等式组0 x4，0y4，所表示的图形面积为 16，不等式组0 x4，0y4，2xy2所表示的六边形 OABCDE 的面积为 16412，由几何概型的公式可得 P121634.角度三 与平面向量的线性运算交汇命题的问题3已知 P 是ABC 所在平面内一点，PB PC 2 PA 0，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是()A.14B.13C.23D.12解析：选 D 由题意可知，点 P 位于 BC 边的中线的中点
46、处记黄豆落在PBC 内为事件 D，则 P(D)SPBCSABC12.类题通法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.课堂练通考点1已知ABC 中，ABC60，AB2，BC6，在 BC 上任取一点 D，则使ABD 为钝角三角形的概率为()A.16 B.13C.12D.23解析：选 C 如图，当 BE1 时，AEB 为直角，则点 D 在线段 BE(不包含 B，E 点)上时，ABD 为钝角三角形；当 BF4 时，BAF 为直角，则点 D 在线段 CF(不包含 C，F 点)上时，ABD
47、 为钝角三角形所以ABD 为钝角三角形的概率为126 12.2在区间5,5内随机地取出一个数 a，则恰好使 1 是关于 x 的不等式 2x2axa20的一个解的概率为()A0.3B0.4C0.6D0.7解析：选 D 由已知得 2aa22 或 a1.故当 a5，1)(2,5时，1是关于 x 的不等式 2x2axa213，三棱锥 S-ABC 的高与三棱锥 S-APC 的高相同作 PMAC 于 M，BNAC 于 N，则 PM，BN 分别为APC 与ABC 的高，所以VS-APCVS-ABCSAPCSABCPMBN13，又PMBNAPAB，所以APAB13，故所求的概率为23(即为长度之比)答案：23
48、“概率与统计”类题目的审题技巧与解题规范技法概述在高考的实际综合应用问题中，题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向，在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，为问题解决提供有助的方法适用题型在高考中以下几种题型常用到此审题方法：(1)概率与统计部分；(2)回归分析与统计案例；(3)算法与程序框图典例(2013湖南高考)(本题满分 12 分)某人在如图所示的直角边长为 4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如
49、下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg 的概率 解题流程解:1所种作物的总株数为1234515，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株.3分题意理解不清在计算满足“相近”关系的作物数时失误第一步由图表确定总株数及满足“相近”关系的株数失分警示第二步列频数分布表求平均数列表如下：所种作物的平均年收获量为 512
50、48445642315 1021922701261569015 46.8分)3 6 4 51 42 45 48 51 注意加权平均数的计算易忽视频数计算出错丢分Y 频数 第三步利用互斥事件求概率2由1知，PY51 215，PY48 415故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为PY48PY51PY48215 4152510分12分所求事件应为两互斥事件，审题时注意题意理解，以免漏掉情形.概率与统计1.暑假期间，青少年宫开办了“曲艺”，“跆拳道”，“音乐”，“礼仪”四个课外班，每个班的人数如下表所示，现利用分层抽样的方法抽取若干人组成表演队，有关数据见下表(单位：人)：相
51、关人数抽取人数曲艺32a跆拳道243音乐b5礼仪16c(1)求 a，b，c 的值；(2)若从“曲艺”班与“礼仪”班已抽取的人中选 2 人担任表演队队长，求这 2 人分别来自这两个班的概率解：(1)由题可知分层抽样的比例为 32418，故 a32184，b51840，c16182.(2)设从“曲艺”班抽取的 4 人分别为 A1，A2，A3，A4，从“礼仪”班抽取的 2 人分别为B1，B2.则从中任选 2 人的所有基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(B1，B2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，
52、(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共 15 个其中 2 人分别来自这两个班的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共 8 个所以这 2 人分别来自这两个班的概率 P 815.2已知喜爱文学的 10 位男生中，A1，A2，A3 还喜欢美术；B1，B2，B3 还喜欢音乐；C1，C2 还喜欢体育现在从喜欢美术、音乐、体育的 8 位男生中各选出 1 位进行其他方面的调查(1)列出所有可能的结果；(2)求男生 B1 和 C1 不全被选中的概率解：(1)从喜欢美术、音乐、体育的
53、 8 位男生中各选出 1 位的可能结果组成的基本事件如下：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共 18个(2)用 M 表示事件“男生 B1 和 C1 不全被选中”，则其对立事件 M 表示“男生 B1 和 C1全被选中”，由于 M 包含(A1
54、，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共 3 个基本事件，所以 P(M)1P(M)1 31856.3某中学高三(10)班女同学有 45 名，男同学有 15 名，老师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名男同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学 A 与第二次做实验的同学 B 得到的实验数据的茎叶图如图所示，请问
55、哪位同学的实验更稳定？并说明理由.AB 869 0 1 2 470 0 2 4解：(1)由题意可知，某同学被抽到的概率 P 460 115.设课外兴趣小组中女同学的人数为 x，则4560 x4，解得 x3，所以课外兴趣小组中男同学的人数为 431，故课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为 1、3.(2)把 3 名女同学和一名男同学分别记为 a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共 12 个，其中恰有一名男同学的有：(a1，b)，(a2，b)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共 6 个，所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率 P 61212.(3)由题意知，x A6870717274571，x B6970707274571，则 s2A687127071271712727127471254，s2B697127071270712727127471253.2，因为 x A x B，s2As2B，所以第二次做实验的同学 B 的实验更稳定