1、正、余弦函数的周期性与奇偶性A级基础巩固1函数f(x)xcos x()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D为是非奇非偶函数解析：选Af(x)的定义域为R.f(x)(x)cos(x)xcos xf(x)，f(x)xcos x为奇函数2函数f(x)2|sin x|的最小正周期为()A2B.C D.解析：选Csin(x)sin x，|sin x|sin x|，f(x)f(x)，函数f(x)2|sin x|的最小正周期为.故选C.3(多选)对于函数f(x)ax3bsin xc(a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值去计算f(1)和f(1)的值，其所得出的正确结果可能是()A2和6 B3和9C
2、4和11 D5和13解析：选ABD设F(x)f(x)cax3bsin x，F(x)a(x)3bsin(x)(ax3bsin x)F(x)，F(x)是奇函数F(1)F(1)又F(1)f(1)c，F(1)f(1)c，因此f(1)cf(1)c，f(1)f(1)2c.由cZ知f(1)f(1)为偶数，故A、B、D有可能正确，而4与11的和15为奇数，C不可能正确，因此选A、B、D.4(多选)(2021山东济南高一检测)关于函数f(x)4sin(xR)，下列命题正确的是()Ayf(x)的解析式可改写为y4cosByf(x)是以2为最小正周期的周期函数 C函数yf是奇函数Dyf的图象关于y轴对称解析：选AC
3、DA正确，f(x)4sin4cos4cos；B错误，由题意知T；C正确，f4sin4sin 2x，是奇函数；D正确，f4sin4cos 2x，是偶函数，其图象关于y轴对称综上知，A、C、D正确5设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则函数yf(x)的图象是()解析：选B由f(x)f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称由f(x2)f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.6(2021北京西城高一月考)设函数f(x)sin.若f(x)的图象关于直线x对称，则的取值集合是_解析：由题意可知，函数f(x)sin图象的对称轴方程为xk(kZ)，即x(kZ)，结合题意有(k
4、Z)，整理可得的取值集合是|6k1，kZ答案：|6k1，kZ7若f(x)是R上的偶函数，当x0时，f(x)sin x，则f(x)的解析式是_解析：当x0，f(x)sin(x)sin xf(x)f(x)，x0时，f(x)sin xf(x)sin|x|.答案：f(x)sin|x|8设函数f(x)x3cos x1，若f(a)11，则f(a)_解析：因为f(a)a3cos a111，所以a3cos a10，所以f(a)a3cos(a)1a3cos a19.答案：99判断下列函数的奇偶性：(1)(x)coscos(x)；(2)(x) .解：(1)xR，(x)coscos(x)sin 2x(cos x)s
5、in 2xcos x.(x)sin(2x)cos(x)sin 2xcos x(x)函数(x)是奇函数(2)对任意xR，1sin x1，1sin x0，1sin x0.(x) 的定义域为R.(x) (x)，函数f(x)是偶函数10已知函数ysin x|sin x|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期解：(1)ysin x|sin x|图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2.B级综合运用11(2021吉林五地六校高一质检)已知函数f(x)对任意xR都有f(x4)f(x)0，且yf(x1)的图象关于(1，0)对称，f(3)4，则f(2 021
6、)()A0 B4C8 D16解析：选B函数f(x)对任意xR都有f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，因此函数f(x)的周期T8.yf(x1)的图象关于(1，0)对称，把yf(x1)的图象向左平移1个单位得到的yf(x11)f(x)的图象关于(0，0)对称，因此函数f(x)为奇函数f(2 021)f(25285)f(5)f(58)f(3)f(3)4，故选B.12已知f(n)sin(nZ)，则f(1)f(2)f(100)_解析：f(1)f(2)f(8)0，f(9)f(10)f(16)0，依此循环，f(1)f(2)f(100)0f(97)f(98)f(99)f(100)1.答案：113
7、已知函数f(x)cos，则f(x)的最小正周期是_；f(x)的对称中心是_解析：由f(x)cos，得T4；令k，kZ，求得x2k，kZ，可得f(x)的对称中心是，kZ.答案：4，kZ14已知函数y5cos(其中kN)，对任意实数a，在区间a，a3上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值解：由5cos，得cos.函数ycos x在每个周期内有两次出现函数值为，区间a，a3的长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期且不大于4个周期即23，且43.解得k.又kN，k2，3.C级拓展探究15定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x.(1)求当x，0时，f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在，上的简图；(3)求当f(x)时x的取值范围解：(1)f(x)是偶函数，f(x)f(x)当x时，f(x)sin x，当x时，f(x)f(x)sin(x)sin x.又当x时，x，f(x)的周期为，f(x)f(x)sin(x)sin x.当x，0时，f(x)sin x.(2)如图(3)在0，内，当f(x)时，x或，在0，内，f(x)时，x.又f(x)的周期为，当f(x)时，x，kZ.5