1、 高考资源网（） 您身边的高考专家第一章 坐标系3 柱坐标系和球坐标系1柱坐标系导疑1柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？导思1柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标导疑2在柱坐标系中，方程1表示空间中的什么曲面？导思21表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面导果(1)柱坐标系的概念建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0，02)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)
2、叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的(2)直角坐标与柱坐标的转化空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为2球坐标系导疑1在球坐标系中，方程rr0(r0为正常数)表示什么图形？导思1在空间的球坐标系中，方程rr0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面导疑2在球坐标系中，方程r1表示空间中的什么曲面？导思2在球坐标系中，方程r1表示球心在原点的单位球面导果(1)球坐标系建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Ox
3、y平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为这样点P的位置就可以用有序数组表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作，其中 在测量实践中，球坐标中的角称为被测点P(r，)的方位角，称为高低角(2)空间直角坐标与球坐标的转化空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标()(2)在柱坐标系中，方程0表示与yOz坐标面成0角的半平面()(3)在球坐标
4、系中，方程rr0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面()(4)在球坐标系中，方程0(000，点M的柱坐标为(4)已知N的柱坐标为，则它的直角坐标为_答案(0，2，3)解析由变换公式得x2cos0，y2sin2，故点N的直角坐标为(0，2，3) 探究柱坐标与直角坐标的互相转化例1(1)设点A的直角坐标为(1，5)，求它的柱坐标；(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标解(1)由变换公式即212()24，2tan，又x0，y0，点A在第一象限，点A的柱坐标为(2)由变换公式得：x4cos2，y4sin2，z8点P的直角坐标为(2，2，8)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标
5、为(，z)，代入变换公式求，也可利用2x2y2，求利用tan求，在求的时候特别注意角所在的象限，从而确定的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标【跟踪训练1】已知空间点M的直角坐标为(1，3)，求它的柱坐标解由公式得2(1)2()242cos，sin又0，2)，即M的柱坐标为探究球坐标与直角坐标的互相转化例2(1)已知点P的球坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点M的直角坐标为(2，2，2)，求它的球坐标解(1)由变换公式得，xrsincos4sincos2yrsinsin4sinsin2zrcos4cos2故其直角坐标为(2，2，2)(2)由坐标变换公式，可得r 4由rcosz2，得cos，0，又
6、tan1，(M在第三象限)，从而知M点的球坐标为由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式求出r，即可；也可以利用r2x2y2z2，tan，cos来求要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚和所在的位置【跟踪训练2】已知点M的球坐标为，求它的直角坐标解本题主要考查将球坐标化为直角坐标的方法，解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决r5，即点M的直角坐标为探究柱坐标系、球坐标系的应用例3在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，B，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最
7、短，求最短的路程解如图所示，因为A，B，可知AOO1O1OB，O1AOO1BO又EOC，EOD，CODAO1BCOD在RtOO1B中，O1BO，OBR，O1BO1ARAO1B，ABR在AOB中，ABOBOAR，AOB故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为R我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞机最快，求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离【跟踪训练3】用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，B，求出这两个截面间的距离解由已知，OAOB8，AOO1，BOO1，在AOO1中，OO14在BOO2中
8、，BOO2，OB8，OO24，则O1O2OO1OO28即两个截面间的距离O1O2为81空间点坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z)(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(，z)(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的连线与x轴正方向所成的角，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角，以及点到原点的距离r组成的，即(r，)注意球坐标的顺序为：到原点的距离r；与z轴正方向所成的角；与x轴正方向所成的角2柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的空间任一点P的位置可
9、以用有序数组(，z)表示，(，)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标1柱坐标P转换为直角坐标为()A(5，8，8) B(8，8，5)C(8，8，5) D(4，8，5)答案B解析由公式得即P点的直角坐标为(8，8，5)2已知点M的直角坐标为(3，3，3)，则它的柱坐标为()A BC D答案A解析由公式得2323218，3cos，sin又0，2)，M点的柱坐标为3在直角坐标系中，点P的坐标为，则其球坐标为()A BC D答案B解析r ，cos，0，tan，x0，y0，P在Oxy平面上的射影Q在第一象限且02，球坐标为4已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱
10、坐标是_答案(2，2，2)解析设点M的直角坐标为(x，y，z)点M的球坐标为，x4sincos2，y4sinsin2，z4cos2，点M的直角坐标为(2，2，2)设点M的柱坐标为(，z)，则2(2)2228，2，cos，sin又02，2，z2，点M的柱坐标为5在球坐标系中，方程表示空间的_答案顶点在原点，轴截面顶角为，中心轴为z轴的圆锥面解析数形结合，根据球坐标的定义判断形状A级：基础巩固练 一、选择题1点M的直角坐标为(，1，2)，则它的柱坐标为()A BC D答案C解析点M的直角坐标为(，1，2)，设点M的柱坐标为(，z)，即点M的柱坐标为2在直角坐标系中，(2，2，2)关于z轴对称点的柱
11、坐标为()A BC D答案C解析(2，2，2)关于z轴对称点为(2，2，2)，2，tan1，(在第三象限内)，所以柱坐标为选C3若点M的球坐标为，则它的直角坐标为()A(6，2，4) B(6，2，4)C(6，2，4) D(6，2，4)答案A解析由x8sincos6，y8sinsin2，z8cos4，得点M的直角坐标为(6，2，4)4空间点P的柱坐标为(，z)，关于点O(0，0，0)的对称点的柱坐标为(0)()A(，z) B(，z)C(，z) D(，z)答案C解析由柱坐标系中0，排除A，B；P(，z)关于O(0，0，0)对称点坐标中，z变为z，变为，故选C5在柱坐标系中，方程2表示空间中的()A
12、以x轴为中心轴，底半径为2的圆柱面B以y轴为中心轴，底半径为2的圆柱面C以z轴为中心轴，底半径为2的圆柱面D以原点为球心，半径为2的球面答案C解析由柱坐标的几何意义可知，方程2表示以z轴为中心，底面半径为2的圆柱面6在空间球坐标系中，方程r20，02表示()A圆 B半圆 C球面 D半球面答案D解析设动点M的球坐标为(r，)，由于r2，0，02，动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面二、填空题7点P的柱坐标为，则点P与原点的距离为_答案2解析点P的直角坐标为(4，4，2)它与原点的距离为28已知点M的直角坐标为(1，2，3)，球坐标为(r，)，则tan_，tan_答案2解析tan，tan2
13、9已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|_，|MN|_答案3解析设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影MN直线Oy，MP平面xOy，PN直线Oy|OP|2，|PN|1，|OM| 3在RtMNP中，MPN90，|MN| 三、解答题10求球坐标系中P，Q两点间的距离解将P，Q两点球坐标转化为直角坐标：对于点P，x3sincos，y3sinsin，z3cos，P点的直角坐标为，对于点Q，x3sincos，y3sinsin，z3cos，Q点的直角坐标为|PQ| ，即P，Q两点间的距离为11在柱坐标系中，求满足的动点M(，z)围成的几何体的体积解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足1，02，0z2的动点M(，z)的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r1，h2，VShr2h212如图所示，在柱坐标系中，长方体OABCO1A1B1C1的两个顶点的坐标分别为A1(2，0，3)，C，求此长方体的外接球的表面积解在柱坐标系中，由A1(2，0，3)，C，得OA2，OO13，OC4，长方体的体对角线OB1，长方体的外接球的半径为，故该长方体的外接球的表面积S4229 高考资源网版权所有，侵权必究！