1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1命题“任意的xR，2x4x2+10”的否定是（）A不存在xR，2x4x2+10B存在xR，2x4x2+10C对任意的xR，2x4x2+10D存在xR，2x4x2+102设复数z满足=（）A0B1CD23下列结论正确的个数是（）命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；命题“xR，x2+20”是全称命题；若p：xR，x2+4x+40，则q：xR，x2+4x+40是全称命题A0B1C2D34设=（x，2y，3），=（1，1，6），且，则x+y等于（）ABCD25设f（x）是函数f（
2、x）的导函数，y=f（x）的图象如图，则y=f（x）的图象最有可能的是（）ABCD6对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是（）A25B250C55D1337用反证法证明命题“若a+b+c0，abc0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）Aa、b、c三个实数中最多有一个不大于零Ba、b、c三个实数中最多有两个小于零Ca、b、c三个实数中至少有两个小于零Da、b、c三个实数中至少有一个不大于零8若（xa）dx=cosxdx，则a等于（）A1B1C2D49在正方体ABCDA1B1C1D1中，
3、M为DD1的中点，O为四边形ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为（）A30B45C60D9010平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（）A甲是乙成立的充分不必要条件B甲是乙成立的必要不充分条件C甲是乙成立的充要条件D甲是乙成立的非充分非必要条件11设F1，F2是双曲线x24y2=4a（a0）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则a的值为（）A2BC1D12若函数f（x）对任意的xR都有f（x）f（x）恒成立，则（）A3f（ln2）2f（ln3）B3f（ln2）=2f（ln3
4、）C3f（ln2）2f（ln3）D3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定二、填空题（每题5分）13如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若=+x+y，则x+y=14已知在等差数列an中，则在等比数列bn中，类似的结论为15设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围为16设双曲线（a0，b0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的离心率为三、解答题17已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若
5、“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围18在数列an中，a1=，且前n项的算术平均数等于第n项的2n1倍（nN*）（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明19由于某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为），涨价后商品卖出的个数减少bx成，税率是新价的a成，这里a，b均为常数，且a10，用A表示过去定价，B表示过去卖出的个数（1）设售货款扣除税款后，剩余y元，求y关于x的函数解析式；（2）要使y最大，求x的值20如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点（）求证：A1B平面ADC1；
6、（）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值21已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，短轴长为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）若点P在椭圆C上，且=+，求直线l的方程22已知函数f（x）=alnx，g（x）=x2其中xR（）若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；（）若f（x）g（x）1对任意x0恒成立，求实数a的值；（）当a0时，对于函数h（x）=f（x）g（x）+1，记在h（x）图象上任取两点A、B连线的斜率为kAB，若|kAB|1，求a的取值范围2015-2016学年江西省新余市高二（下
7、）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1命题“任意的xR，2x4x2+10”的否定是（）A不存在xR，2x4x2+10B存在xR，2x4x2+10C对任意的xR，2x4x2+10D存在xR，2x4x2+10【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：存在xR，2x4x2+10，故选：D2设复数z满足=（）A0B1CD2【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模【分析】化简复数方程，求出复数z为a+bi（a、bR）的形式，然后再求复数|1+z|的模【解答】解：由于，所以1z=i+zi
8、所以z=则|1+z|=故选C3下列结论正确的个数是（）命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；命题“xR，x2+20”是全称命题；若p：xR，x2+4x+40，则q：xR，x2+4x+40是全称命题A0B1C2D3【考点】全称命题；特称命题【分析】利用全称命题与特称命题的定义判断即可【解答】解：命题“所有的四边形都是矩形”是全称命题，故错误；命题“xR，x2+20”是全称命题，故正确；若p：xR，x2+4x+40，则q：xR，x2+4x+40是全称命题，故正确故选：C4设=（x，2y，3），=（1，1，6），且，则x+y等于（）ABCD2【考点】共线向量与共面向量【分析】利用向量共线定理即可得
9、出【解答】解：，存在实数使得，（x，2y，3）=（1，1，6），x=，2y=，3=6，解得，x=，y=x+y=故选：B5设f（x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图，则y=f（x）的图象最有可能的是（）ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】直接根据导函数在x（0，2）上的符号得到原函数在x（0，2）上的单调性，由此可得结论【解答】解：因为函数y=f（x）的导函数在x（0，2）时恒大于0，所以原函数y=f（x）的图象在x（0，2）时为增函数选项中只有C符合故选C6对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次
10、操作后得到的数是（）A25B250C55D133【考点】归纳推理【分析】第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，所以操作结果，以3为周期，循环出现，由此可得第2016次操作后得到的数【解答】解：第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133操作结果，以3为周期，循环出现2016=3672，第2016次操作后得到的数与第3次操作后得到的数相同第2016次操作后得到的数是250，故选：B7用反证法证明命题“若a+
11、b+c0，abc0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）Aa、b、c三个实数中最多有一个不大于零Ba、b、c三个实数中最多有两个小于零Ca、b、c三个实数中至少有两个小于零Da、b、c三个实数中至少有一个不大于零【考点】反证法与放缩法【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，由此得出结论【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，故应假设的内容是：a、
12、b、c三个实数中至少有两个小于零故选：C8若（xa）dx=cosxdx，则a等于（）A1B1C2D4【考点】定积分【分析】利用定积分的运算法则列出方程，求出a的值即可【解答】解：，（x2ax）=sinx，即a=，解得a=1故选：B9在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为四边形ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】根据题意，直线OP在点O与A1B1确定的平面内设点O与A1B1确定的平面为，AD=F且BC=E，可得F、E为AD、BC的中点，由正方形的性质可得AMA1F，由A1B1面A
13、DD1A1可得A1B1AM因此AM面A1FEB1，结合OP面A1FEB1得AMOP由此即可得到异面直线OP与MA所成的角为90【解答】解：A1B1面ADD1A1，AM面ADD1A1，A1B1AM设点O与A1B1确定的平面为，AD=F且BC=E，则F、E为AD、BC的中点，根据正方形的性质，可得AMA1FA1FA1B1=A1，A1F、A1B1平面面A1FEB1，AM面A1FEB1，又OP面A1FEB1，AMOP即直线OP与直线AM所成的角是90故选：D10平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（）A甲是乙成立的
14、充分不必要条件B甲是乙成立的必要不充分条件C甲是乙成立的充要条件D甲是乙成立的非充分非必要条件【考点】椭圆的定义【分析】当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以AB为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值【解答】解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以AB为焦点的椭圆当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以AB为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|P
15、B|是定值，甲是乙成立的必要不充分条件故选B11设F1，F2是双曲线x24y2=4a（a0）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则a的值为（）A2BC1D【考点】双曲线的简单性质【分析】由数量积的意义结合勾股定理可得（PF1PF2）2+2PF1PF2=20a，代入已知可得关于a的方程，解之可得【解答】解：由题意可得F1PF2为直角，PF1F2为直角三角形，又双曲线的方程可化为，故=4c2=20a，变形可得（PF1PF2）2+2PF1PF2=20a，由双曲线定义得（2）2+4=20a，即a2=1，解得a=1，故选C12若函数f（x）对任意的xR都有f（x）f（x）恒成立，则（）A3f（ln2）2
16、f（ln3）B3f（ln2）=2f（ln3）C3f（ln2）2f（ln3）D3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x），利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，因为对任意xR都有f（x）f（x），所以g（x）0，即g（x）在R上单调递增，又ln2ln3，所以g（ln2）g（ln3），即，即即3f（ln2）2f（ln3），故选：C二、填空题（每题5分）13如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若=+x+y
17、，则x+y=1【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据向量加法的平行四边形法则便有，再根据向量减法的几何意义，及向量的数乘运算便可得到，这样便可求出x，y，从而求出x+y的值【解答】解：根据题意，=；x+y=1故答案为：114已知在等差数列an中，则在等比数列bn中，类似的结论为【考点】类比推理【分析】在等差数列中，等差数列的性质m+n=p+q，则am+an=ap+aq，那么对应的在等比数列中对应的性质是若m+n=p+q，则bmbn=bpbq【解答】解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：故答
18、案为：15设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围为0，90120，180）【考点】简单复合函数的导数；直线的倾斜角【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到的范围确定答案【解答】解：设点P是曲线上的任意一点，y=3x2点P处的切线的斜率k=3x2k切线的倾斜角的范围为：0，90120，180）故答案为：0，90120，180）16设双曲线（a0，b0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的离心率为2【考点】双曲线的简单性质【分析】由，得，从而求出A点坐标，再由点A在渐近线y=上
19、，能求出双曲线的离心率【解答】解：设点F（c，0），B（0，b），由，得=2（），A（，），点A在渐近线y=上，则，解得e=故答案为：2三、解答题17已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可【解答】解：（1）方程表示焦点在y轴上的椭圆，即，即1m1，若命
20、题p为真命题，求实数m的取值范围是（1，1）；（2）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式=4m24（2m+3）0，即m22m30，得1m3若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1m3，综上，实数m的取值范围是1，3）18在数列an中，a1=，且前n项的算术平均数等于第n项的2n1倍（nN*）（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明【考点】数学归纳法；数列的函数特性【分析】（1）利用数列an前n项的算术平均数等于第n项的2n1倍，推出关系式，通过n=2，3，4，5求
21、出此数列的前5项；（2）通过（1）归纳出数列an的通项公式，然后用数学归纳法证明第一步验证n=1成立；第二步，假设n=k猜想成立，然后证明n=k+1时猜想也成立【解答】解：（1）由已知， =（2n1）an，分别取n=2，3，4，5，得，；所以数列的前5项是：，； （2）由（1）中的分析可以猜想（nN*） 下面用数学归纳法证明：当n=1时，猜想显然成立 假设当n=k（k1且kN*）时猜想成立，即 那么由已知，得，即a1+a2+a3+ak=（2k2+3k）ak+1所以（2k2k）ak=（2k2+3k）ak+1，即（2k1）ak=（2k+3）ak+1，又由归纳假设，得，所以，即当n=k+1时，猜想也
22、成立 综上和知，对一切nN*，都有成立 19由于某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为），涨价后商品卖出的个数减少bx成，税率是新价的a成，这里a，b均为常数，且a10，用A表示过去定价，B表示过去卖出的个数（1）设售货款扣除税款后，剩余y元，求y关于x的函数解析式；（2）要使y最大，求x的值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）定价上涨x成，即为A（1+），卖出的个数为B（1），售货款扣除税款后，能求出y关于x的函数解析式（2）由已知得，由此利用导数性质能求出使y最大的x的值【解答】解：（1）定价上涨x成，即为A（1+），卖出的个数为B（1），售货款扣除税款后
23、，剩余y=AB（1+）（1）（1），（0x10）（2）y=AB（1+）（1）（1）=AB（1）+（）x+1，令y=0，得x=，x（0，）时，y0；当x（）时，y0ymax=AB（1）使y最大有x的值为20如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点（）求证：A1B平面ADC1；（）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）连接A1C，交C1A于E，证明：DEA1B，即可证明A1B平面ADC1；（）建立空间直角坐标系，求出平面ABA1的一个法向量、平面ADC1的法向量，利用向量的
24、夹角公式，即可求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值【解答】（）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC的中点，所以DEA1B，又DE平面ADC1，A1B平面ADC1，故A1B平面ADC1 （）解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量=（x，y，z）=（1，1，0），=（0，2，4），取z=1，得y=2，x=2平面ADC1的法向量=（2，2，1），平面ADC1与ABA1所成的二面角为，|cos|=|=从而sin=，即平面A
25、DC1与ABA1所成二面角的正弦值为 21已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，短轴长为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）若点P在椭圆C上，且=+，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可得b=，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得k；（）当l垂直于x轴时，由向量的加法运算，即可判断【解答】解：（1）由2b=2得b=，即有=，a2c2=2，所以，则椭圆方程为
26、；（2）椭圆C的方程为2x2+3y2=6设A（x1，y1），B（x2，y2）（）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x1）C上的点P使=+成立的充要条件是P点坐标为（x1+x2，y1+y2），且2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6，整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6，又A、B在椭圆C上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，故2x1x2+3y1y2+3=0将y=k（x1）代入2x2+3y2=6，并化简得（2+3k2）x26k2x+3k26=0，于是x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x11）（x21）=代入解得k2=2，因此，当
27、k=时，l的方程为x+y=0；当k=时，l的方程为xy=0（）当l垂直于x轴时，由+=（2，0）知，C上不存在点P使=+成立综上，l的方程为xy=022已知函数f（x）=alnx，g（x）=x2其中xR（）若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；（）若f（x）g（x）1对任意x0恒成立，求实数a的值；（）当a0时，对于函数h（x）=f（x）g（x）+1，记在h（x）图象上任取两点A、B连线的斜率为kAB，若|kAB|1，求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题【分析】（）求导函数，可得切线方程，利用平行线间的距离公式，可求两平
28、行直线间的距离；（）令h（x）=f（x）g（x）+1，确定其单调性，分类讨论，即可求实数a的值；（）|h（x1）h（x2）|x1x2|等价于h（x1）h（x2）x2x1，即h（x1）+x1h（x2）+x2，构造H（x）=h（x）+x=alnxx2+x+1，H（x）在（0，+）上是减函数，可得2x2+x+a0在x0时恒成立，分离参数，即可求a的取值范围【解答】解：（），依题意得：a=2； 曲线y=f（x）在x=1处的切线为2xy2=0，曲线y=g（x）在x=1处的切线方程为2xy1=0两直线间的距离为=（）令h（x）=f（x）g（x）+1，则当a0时，注意到x0，h（x）0，h（x）在（0，+）
29、单调递减，又h（1）=0，故0x1时，h（x）0，即f（x）g（x）1，与题设矛盾当a0时，当，h（x）0，当时，h（x）0h（x）在（0，）上是增函数，在（，+）上是减函数，h（x）h（1）=0，又当a2时，与不符a=2（）当a0时，由（2）知h（x）0，h（x）在（0，+）上是减函数，不妨设0x1x2，则|h（x1）h（x2）|=h（x1）h（x2），|x1x2|=x2x1，|h（x1）h（x2）|x1x2|等价于h（x1）h（x2）x2x1，即h（x1）+x1h（x2）+x2，令H（x）=h（x）+x=alnxx2+x+1，H（x）在（0，+）上是减函数，（x0），2x2+x+a0在x0时恒成立，a（2x2x）min 又x0时，（2x2x）min=a，又a0，a的取值范围是2016年8月3日高考资源网版权所有，侵权必究！
