1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2021届高三上学期期初考试数学试卷一、选择题（本大题共16小题，共80.0分）1. 设，则z的虚部是（ ）A. 2B. -1C. 2D. 1【答案】B【解析】分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：，z的虚部是.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.2. 曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：,.由导数的几何意义可得所求切线的斜率,所以所求切线方程为,即.故D正确.考点：导数几何意义.3. 已知且，函数，在上单调递增，那么实数的取值范围是( )A.
2、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可【详解】解：a0且a1，函数在R上单调递增，可得：，解得a（1，2故选D【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查4. 若的定义域是，则函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域为可得且，解得的取值范围即为所求函数的定义域【详解】由函数的定义域为得，解得，所以函数的定义域为故选【点睛】求该类问题的定义域时注意以下结论：若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由ag(x)b求出；若已知函数f(g(x)的定义域为a，
3、b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域5. A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数，确定该函数在上的图象，利用几何法求出定积分的值，然后利用定积分的性质可求出答案【详解】，令，两边平方得，则有，所以，函数在上的图象是圆的上半部分，所以，所以，故选A【点睛】本题主要考查定积分的几何意义以及利用微积分基本定理求定积分，考查了计算能力与转化能力，属于基础题6. 剪纸艺术是中国最古老民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（
4、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.【详解】设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为所求的概率为P= 故选B【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养.7. 用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上（ ）A. 增加一项B. 增加项C. 增加项D. 增加项【答案】D【解析】【分析】明确从变为时，等式左端的变化，利用末尾数字作差即可得到增加的项数.【详解】当时，等式左端为：当时，等式左端： 需增加项本题正确选项：【点睛】本题考查数学归纳法的基础知识，关键是明
5、确等式左端的数字变化规律.8. 已知函数是定义在（，b3b1，+）上的奇函数.若f（2）3，则a+b的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】C【解析】【分析】奇函数定义域关于原点对称可得，再由f（2）3可得，从而得解.【详解】函数是定义在（，b3b1，+）上的奇函数，所以，解得，由f（2）3，可得，解得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了已知奇偶性求参，属于基础题.9. 函数的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先设，将原根式函数的值域问题转化为二次函数的值域问题解决即可.【详解】解：设，则原函数可化为.又，故，的值域为.故选：A.【点睛】本小题主要考
6、查函数的值域、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、转化能力.属于基础题.10. 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果.【详解】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、
7、丁都正确；满足题意；若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；故选B【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型.11. 若在上是减函数，则b的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出原函数的定义域，要使原函数在内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的
8、判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围.【详解】由，得，所以函数的定义域为，再由，得：，要使函数在内是单调减函数，则在上恒小于等于0，因为，令，则在上恒大于等于0，函数开口向上，且对称轴为，所以只有当，即时，恒成立，所以，使函数在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调减，说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0，是中档题.12. 在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由所求问题可知，本题是求条件概率，因此可以运
9、用公式求解同时本题又是一个几何概型，这就涉及到求面积，三角形面积可以直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采用定积分的方法来求解【详解】图形如下图所示：直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为； , 故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型、条件概率、定积分的应用.13. 重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为( ) 附：若，则；.A. 0.6826B.
10、0.8413C. 0.8185D. 0.9544【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85X90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.14. 在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望和方差分别为 （ ）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】A【解析】【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，求得，再根据二项分布的期望与
11、方差的公式，即可求解.【详解】由题意，设事件在每次试验中发生的概率为，因为事件至少发生一次的概率为，即，解得，则事件发生的次数服从二项分布，所以事件发生的次数的期望为，方差为，故选A.【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，以及二项分布的期望与方差的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，以及二项分布的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15. 若，则，解集（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由函数解析式，以及函数奇偶性的定义，判断为偶函数，再用导数的方法判断函数单调性，再由函数奇偶性将不等式转化，进而可求出结果.【详解】因为，所以，
12、即函数为偶函数，又，所以，当时，恒成立；所以在上单调递增，所以，故函数在上单调递增；又为偶函数，所以在上单调递减；所以，由可得，所以，即，解得.故选A【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及导数的应用，熟记函数奇偶性的定义，以及用导数的方法判断函数单调性即可，属于常考题型.16. 已知定义域为的函数的图象经过点，且对，都有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设函数，则，所以函数在区间上是单调递增函数，而，故不等式可化为，即，所以，应选答案C点睛：解答本题的难点在于如何构造函数，当然也是解答本题的关键与突破口求解时先构造函数，再借助导数与函数的单调性之间的关系，判定出
13、该函数在区间上是单调递增函数，从而将不等式等价转化为，借助单调性使得问题巧妙获解二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）17. 若，且，则_【答案】11【解析】【分析】根据条件中所给的二项式定理的展开式，写出a和b的值，根据这两个数字的比值，写出关于n的等式，解方程可求n值.【详解】故答案为11【点睛】本题考查二项式展开式的应用，属于基础题.18. 1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币（1999年版），第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成_种币值.（用数字作答）【
14、答案】63【解析】【分析】由题意可知币值是由纸币张数来决定，则共有种币值，利用组合数的性质可求得结果.【详解】由题意可知，可分别选取张纸币来构成不同币值所有币值的种数为：种本题正确结果：【点睛】本题考查利用组合数的性质求解组合问题，属于基础题.19. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.【答案】6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值.【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以 .【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.20. 已知实数满足，函数，则y的取值范围是
15、_【答案】【解析】【分析】根据，求得的值，【详解】因为实数满足化简可得所以解方程组可得带入解析式可得因为与在上y随x的增大而增大所以在上y随x的增大而增大所以当时取得最小值为所以当时取得最小值为所以在上y的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值与平方的和等于0时的应用，二元一次方程组的解法，函数y随x的变换情况及y的取值范围，综合性较强，属于中档题三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）21. 已知数列的前n项和为，且，数列满足，求的通项公式；设，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】由得是以为首项，2为公比的等比数列，从而得的通项公式；由与得为公差为2的等差数列，得，又，得，从而
16、得【详解】当时，时，得：是以为首项，2为公比的等比数列，为公差为2的等差数列，又，【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的推导，通项公式的应用，裂项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22. 由中央电视台综合频道（）和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“
17、非常满意”的观众的概率为0.35.非常满意满意合计3015合计（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的、地区的人数各是多少.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.（3）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望.附：参考公式：.【答案】（1）A抽6人，B抽取7人；（2）没有把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据分层抽样的抽样比为计算各层抽取人数即可（2
18、）根据卡方公式计算即可，得出结论（3）由题意可得的可能取值，且服从二项分布，分别计算相应的概率即可.【详解】（1）由题意，得，所以，地抽取，地抽取.（2）非常满意满意合计301545352055合计6535100，所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.（3）从地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，随机抽取3人，的可能取值为0，1，2，3，0123.【点睛】本题主要考查了分层抽样，22列联表，相关性检验，二项分布列及期望，属于中档题.23. 坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线
19、上（）求的值和直线的直角坐标方程及的参数方程；（）已知曲线的参数方程为，（为参数），直线与交于两点，求的值【答案】（），的直角坐标方程为，的参数方程为：（）【解析】【分析】（）将点的极坐标方程代入直线的极坐标方程可求出的值，然后将直线方程化为普通方程，确定直线的倾斜角，即可将直线的方程表示为参数方程的形式；（）将曲线的参数方程表示普通方程，然后将（）中直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的一元二次方程，并列出韦达定理，根据的几何意义计算出和，于是可得出的值【详解】解：（）因为点，所以； 由得于是的直角坐标方程为； 的参数方程为： （t为参数） （）由： ，将的参数方程代入得，设该方程的
20、两根为，由直线的参数的几何意义及曲线知， 所以【点睛】本题考查曲线的极坐标、参数方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义，对于这类问题的处理，一般就是将直线的参数方程与普通方程联立，借助韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题24. 已知函数.（1）求函数的极值点；（2）已知为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，求的值.【答案】（1）极小值点为，不存在极大值点.（2）【解析】【分析】（1）由，求导.再令，得，再根据极值点的定义求解.（2）根据点为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，则有该点的函数值相等，切线的斜率相等，建立方程组且求解.【详解】（1）因为，所以.令得，当时，；当时，所以函数的极小值点为，不存在极大值点.（2）依题意.因为点为函数的公共点，且函数在点处的切线相同.所以且，由得，代入得，显然，所以.因为满足该方程，且函数为单调增函数，所以，.【点睛】本题主要考查导数与函数的极值以及共切线问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
