1、正切函数的性质与图象 (20分钟35分)1.若f(x)=tan(x)(0)的最小正周期为1,则f的值为()A.-B.-C.D.【解析】选D.依题意知,T=1,=, f(x)=tan,所以f=tan=.2.函数y=的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数【解析】选A.由1+cos x0,即cos x-1,得x2k+,kZ.又tan x中,xk+,kZ,所以函数y=的定义域关于(0,0)对称.又f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.3.已知a=tan,b=cos,c=cos,则()A.bacB.abcC.bcaD.acb【解析】选D.a=t
2、an1,b=cosc=cos=cos0,所以acb.4.若函数f(x)=-2tan x+m,x有零点,则实数m的取值范围是.【解析】函数f(x)=-2tan x+m有零点,即方程2tan x=m有解.因为x,所以tan x-1,所以m-2,2 .答案:-2,2 5.已知函数f(x)=tan(x+),|的图象的一个对称中心为,则的值为.【解析】由于是函数的对称中心,故+=(kZ),=-(kZ),由于,故取k=0,1时,=-或=符合题意.答案:或-6.已知-x,f(x)=tan2x+2tan x+2,求f(x)的最值及相应的x值.【解析】因为-x,所以-tan x1,f(x)=tan2x+2tan
3、 x+2=(tan x+1)2+1,当tan x=-1即x=-时,f(x)有最小值1,当tan x=1即x=时,f(x)有最大值5. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,同时满足:在上是增函数,为奇函数,以为最小正周期的函数是()A.y=tan xB.y=cos xC.y=tanD.y=|sin x|【解析】选A.经验证,选项B,D中所给函数都是偶函数,不符合;选项C中所给的函数的周期为2.2.在区间内,函数y=tan x与函数y=sin x的图象交点的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图象(如图所示),可以看
4、到在区间内二者有三个交点.3.若函数y=tan在上为减函数,且在上的最大值为,则的值可能为()A.-B.C.-1D.1【解析】选A.由题意,函数y=tan在上为减函数,可得0且-+=+k(kZ),解得=-3k(kZ),当k=0时,解得=-.4.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有()A.abcB.bacC.cabD.acb【解析】选C.因为-10,c=tan(-1)-1.因此,可得cab.5.下列关于函数y=tan的说法正确的是()A.图象关于点成中心对称B.图象关于直线x=成轴对称C.在区间上单调递增D.在区间上单调递增【解析】选D.由题意可知,对于A,当x=时
5、,函数y=tan=-,所以点不是函数的对称中心,所以A不正确;对于B,根据正切函数的性质可知,函数y=tan的图象没有对称轴,所以B不正确;对于C,令-+kx+k,kZ,解得-+kx+k,kZ,即函数的单调递增区间为,kZ,当k=1时,函数的单调递增区间为,所以C不正确;当k=0时,函数的单调递增区间为,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=的定义域是.【解析】由已知,得,即,则xk+,kZ.答案:7.满足tan x且x的x的集合为.【解析】函数y=tan x,x的图象为由图象可知:0x或x时tan x.答案:或8.y=tan满足下列哪些条件(填序号).在上单调递增;为奇函
6、数;以为最小正周期;定义域为.【解析】当x时,y=tan在上单调递增,正确;tan=-tan,故y=tan为奇函数,因此正确;T=2,所以不正确;由+k,kZ,得x|x+2k,kZ,所以不正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x2+2xtan -1,x-1,其中.(1)当=-时,求函数f(x)的最大值与最小值.(2)求使y=f(x)在区间-1,上是单调函数的的取值范围.【解析】(1)当=-时,f(x)=x2-x-1=-,x-1, .所以当x=时,f(x)取得最小值,为-;当x=-1时,f(x)取得最大值,为.(2)函数f(x)=(x+tan )2-1-tan2的
7、图象的对称轴为x=-tan .因为y=f(x)在区间-1,上单调,所以-tan -1或-tan ,即tan 1或tan -.又,所以的取值范围是.10.已知函数f(x)=3tan.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间.(2)试比较f与f的大小.【解析】(1)因为f(x)=3tan=-3tan,所以函数的最小正周期T=4.由k-k+,kZ,得4k-x4k+,kZ,所以函数y=3tan(-)的单调增区间为,kZ,所以函数y=-3tan(-)的单调减区间为,kZ,即f(x)的单调减区间为,kZ.(2)f()=3tan=3tan=-3tan,f=3tan=3tan=-3tan.因为0,所以tan
8、-3tan,即f()f.1.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是()【解析】选D.当x时,tan xsin x,y=2tan x;当x=时y=0;当xsin x,y=2sin x.根据正弦函数和正切函数图象知D正确.2.若函数f(x)=tan2x-atan x的最小值为-6.求实数a的值.【解析】设t=tan x,因为|x|,所以t-1,1.则原函数化为:y=t2-at=-,对称轴t=.(1)若-11,则当t=时,ymin=-=-6,所以a2=24(舍去);(2)若-1,即a1,即a2时,二次函数在-1,1上单调递减.ymin=1-a=-6,所以a=7.综上所述,a=-7或a=7.
