1、江苏省无锡市辅仁高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解出集合，再利用集合的交集运算律得出.【详解】由，得，所以，则集合，由于集合，因此，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键就是解出集合中的不等式，解出相应的集合，考查计算能力，属于基础题.2. 已知，则“”是“”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“”成立，然后判断“”是否一定成立；然后假设“”成立
2、，再判断“”是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论【详解】解：当“”成立时，“”一定成立，即“” “”为真假命题；但当“”成立时，或即“”不一定成立，即“” “”为假命题；故“”是“”的充分不必要条件故选：【点睛】判断充要条件的方法是：若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系3. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )A. B
3、. C. D. 【答案】B【解析】双曲线的离心率为,即.又，解得：，.则其渐近线方程为，故选B.4. 在中， 分别为角的对边，若，则此三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得sinA=2sinBcosC，即sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，整理得sinBcosCcosBsinC=sin(BC)=0，即B=C，则三角形为等腰三角形，本题选择A选项.5. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由对数函数的单调性判断，1的大小，再由指
4、数函数的单调性判断和1和大小，从而可比较出的大小.【详解】解：因为，函数在上为增函数，且，所以，所以，因为在上为减函数，且，所以，即，综上，故选：D【点睛】此题考查的是比较对数式、指数式的大小，利用了对数函数和指数函数的单调性比较大小，属于中档题.6. 已知，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出二项式展开式的通项为，可知当为奇数时，当为偶数时，然后代入即可得出的值.【详解】二项式展开式的通项，当为奇数时，当为偶数时，因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7. 若是方
5、程的解，则属于区间()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令,分别比较,的大小得到答案.【详解】令 ，则结合图象可得故答案选C【点睛】本题考查了方程解的范围，转化为函数的交点问题是解题的关键.8. 已知函数的图象向左平移个单位后，其图象关于轴对称，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题设，其图象关于轴对称，即，求解即得.【详解】由题设向左平移个单位，即，其图象关于轴对称，因此，又，令，故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的图像变换及对称性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9. 已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一条准线
6、与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（ ）A. B. C. D. 21【答案】B【解析】【分析】由离心率求得和的关系，进而根据双曲线方程准线与抛物线的准线重合，得其准线方程，求得和的关系，进而求得，则求得，双曲线方程可得，进而把抛物线和双曲线方程联立求得交点坐标，则点到原点的距离可求【详解】解：由，得，由一条准线与抛物线的准线重合，得准线为，所以，故，所以双曲线方程为，由得交点为，所以交点到原点的距离是，故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线与双曲线的关系，属于中档题10. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答
7、案】D【解析】【分析】首先求出函数的导函数，由函数在区间不单调，即导函数在区间上存在变号零点，根据零点存在性定理得到不等式，解得即可；【详解】解：因为，所以，又因为函数在区间上不单调，所以在区间上存在变号零点，所以，即，解得故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，零点存在性定理的应用，属于中档题.11. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）A. 210种B. 420种C. 630种D. 840种【答案】B【解析】依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女若是一男两女，则
8、有种选派方案，若是两男一女，则有种选派方案所以总共有种不同选派方案，故选B12. 在中，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，由三角形中的中位线的性质和比例的性质可得出，再设，根据余弦定理得，再得出，由三角形的面积公式表示的面积，根据二次函数的最值可得选项.【详解】因为分别是边，的中点，所以，所以，又，设，则，又因为，所以，设，所以在中，所以，所以，当时，面积取得最大值，故选：C. 【点睛】本题考查三角形的面积的最值求解，关键在于运用三角形的中位线性质和比例性质得出线段间的关系，再运用余弦定理和三角形的面积公式表示三角形的面
9、积为一个变量的函数，属于较难题.二、填空题13. 已知是奇函数，且当时，则_.【答案】【解析】【分析】由于，所以先利用奇函数的性质得，然后再求值即可.【详解】解：因为是奇函数，所以，因为，所以，所以，故答案为：【点睛】此题考查了奇函数的性质，考查了数学转化思想，考查了计算能力，属于基础题.14. 若对于任意的实数，有，则的值为_.【答案】【解析】【分析】先令，求出，再令，求出，即可得到的值.【详解】解：令，则，得，令，则，得，所以，故答案为：【点睛】此题考查的是二项式展开式的系数的计算，利用了赋值法求解，属于基础题.15. 已知正实数满足，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用均值不等式
10、得到，再计算即可得到答案.【详解】正实数，则，则，则，当时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生应用能力.属于较易题.16. 规定，若函数在定义域上的值域是，则称该函数为“绅士风度”函数.已知函数（且）为“绅士风度”函数，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由新定义可得方程有两个不相等的实根，两边取自然对数，转化为有两个不等的实根，令函数，分析其单调性得其最值，即可得到所求a的范围.【详解】由新定义可得函数在定义域上的值域是，即方程有两个不相等的实根，即有，即有两个不相等的实根.令，则的导数为，所以当时，递减，当时，递增，即有取得最大值，且，所以，所以有.解得.
11、故答案为:.【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，以及导数的运用:求单调区间和极值、最值，属于较难题.三、解答题17.如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单 位圆上的两点，D是坐标原点，AOP.AOQ，0，）.（）若Q（，），求cos（）的值； （）设函数f（），求f（）值域【答案】（）（）【解析】【详解】()由已知可得，cos=，sin=cos()= coscos+sinsin=+= ()f(x)=0，)，+，)，1，f()的值域是(，118. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，APABAD1（1）若直线PB与CD所成角的大小为
12、求BC的长；（2）求二面角BPDA的余弦值【答案】(1) BC的长为2;(2)二面角的余弦值为.【解析】【详解】试题分析：（1）以为单位正交基底，建立空间直角坐标系设，则，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：解：（1）以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz因为APABAD1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)设C(1，y，0)，则(1，0，1)，(1，1y，0) 因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos，| | ，即，解得y2或y0（
13、舍），所以C(1，2，0)，所以BC的长为2 （2）设平面PBD的一个法向量为(x，y，z)因为(1，0，1)，(0，1，1)，则即 令x1，则y1，z1，所以(1，1，1) 因为平面PAD的一个法向量为(1，0，0)，所以cos， 所以，由图可知二面角BPDA的余弦值为19. 在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）已知，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由正弦定理将中的边转化为角，然后利用三角函数恒等变换公式化简，即可求出角的值；（2）利用余弦定理直接求解.【详解】（1），又，即，等式两边同时除以得，.（2）由余弦定理，得，即，解得.【点睛】此题考查的是利用正弦定
14、理和余弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变换公式，属于基础题.20. 将名为高等代数、数学分析、概率论和复变函数的4本不同的书随机放入甲、乙、丙、丁4个书包中.（1）求4本书恰好放在4个不同书包中的概率；（2）随机变量表示放在丙书包中书的本数，求的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，1.【解析】【分析】（1）将4本不同的书随机放入甲、乙、丙、丁4个书包中，有种不同放法，而4本书恰好放在4个不同书包中有种，然后利用古典概型概率公式求解即可；（2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，4，然后把每一个对应的概率求出，即可列出分布列，由分布列求出数学期望.【详解】（1）将4本不同的
15、书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有种不同放法，记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件，则事件包含个基本事件，4本书恰好放在四个不同抽屉中概率为.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，的分布列为：01234.【点睛】此题考查了古典概型的概率，离散型随机变量的分布列，考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题.21. 已知椭圆，若的面积为1，且过右焦点垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（1）求椭圆方程；（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，4.【解析】【分析】（1）由条件 ，列式求解；（
16、2）设，列出直线，的方程，并且求点的坐标，利用坐标表示的值，利用点在椭圆上，求定值.【详解】（1）由已知，又，解得，.椭圆的方程为；（2）设椭圆上一点，则，直线：，令，得.直线：，令，得.将代入上式得，故为定值.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.22. 已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，求函数在区间上的最小值；（3）某高二学习研究小组通过研究发现：总存在正实数，使等式成立.试问：他们的研究成果是否确？若正确，请写出的取值范围；若不正确，请说明理由.【答案】（1）的单调增区间为；单调减区间为；（2）当时，；当
17、时，；（3）正确，.【解析】【分析】（1）先由题意，得到，对其求导，用导数的方法即可得出其单调区间；（2）先由（1）确定函数单调性，分别讨论，三种情况，根据单调性，求出最值，即可得出结果；（3）先假设存在正实数，使等式成立，即成立；令，得到只需存在常数使得与在有两不同交点即可；根据（1）的结果，得到函数单调性与最值，进而可得出结果.【详解】（1）定义域为，当，时，所以，令，则，当变化时，的变化情况如下表：+0的单调增区间为；单调减区间为.（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，即时，在上单调递增，；当时，在上单调递减，当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，.下面比较，的大小，若，则，此时；若，则，此时；综上得：当时，；当时，；（3）正确，的取值范围是；假设存在正实数，使等式成立，即成立，即成立；令，即只需，即只需存在常数使得与在有两不同交点即可；由（1）在上单调递增，在上单调递减；，又，当，都有，所以当时，与在有两不同交点；即存在正实数且，使得，即，即.【点睛】本题主要考查导数的方法求函数的单调区间及最值，灵活掌握分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.