1、2015-2016学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=xN|0x5，AB=1，3，5，则集合B=（）A2，4B0，2，4C0，1，3D2，3，42若ab0，且a+b0，则以下不等式中正确的是（）ABCa2b2D|a|b|3A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定4函数f（x）=+a（x0），则“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既非充分又非
2、必要5已知函数f（x）=sinxcosx（0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）ABCD6设向量，满足|=1，与的夹角为150，则|的取值范围是（）A，1）B，+）C，+）D（1，+）7函数y=的大致图象如图所示，则（）Aa（1，0）Ba（0，1）Ca（，1）Da（1，+）8定义在（，0）（0，+）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列an，f（an），仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”现有定义在（），0）（0，+）上的如下函数：f（x）=3x，f（x）=，f（x）=x3，f（
3、x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）ABCD二、填空题（本大题共7小题，9-12题：每空格3分，13-15题：每小题3分，共36分）9己知R，sin+3cos=，则tan2=10已知首项为1，公差不为0的等差数列an的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比q=；等差数列an的通项公式an=；设数列an的前n项和为Sn，则Sn=11设二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），则+的最小值为；若ax24x+c0的解集为 （1，2），则ac=12已知函数f（x）=，则f（x）的递增区间为，函数g（x）=f（x）的零点个数为个13已知集合A=（x，y
4、）|x|1，|y|1，若存在（x，y）A，使不等式x2y+m0成立，则实数m最小值是14已知ABC中，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是15已知函数ft（x）=（xt）2t（tR），设ab，f（x）=，若函数y=f（x）+x+ab有三个零点，则ba的值为三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16设ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=（）求角B（）若b=3，cosA=，求ABC的面积17已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn+an=2（）求数列an的通项公式；（）求满足不等式的n的取值范围18如图，在四棱锥PABC
5、D中，底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=（）证明：MN平面PCD；（）求直线MN与平面PAD所成角的正切值19如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，4），P（2，t）（t0）在抛物线y2=2px（p0）上（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标20已知函数f（x）=x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间1，1上的最大值为M（）若b=2，试求出M；（）若M
6、k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值2015-2016学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=xN|0x5，AB=1，3，5，则集合B=（）A2，4B0，2，4C0，1，3D2，3，4【考点】补集及其运算【专题】计算题【分析】根据题意，先用列举法表示集合A，进而由补集的性质，可得B=A（AB），计算可得答案【解答】解：根据题意，集合A=xN|0x5=0，1，2，3，4，5，若CAB=1，3，5，则B=A（AB）=0，2，4，故选B【点评】本题考查补集的
7、定义与运算，关键是理解补集的定义2若ab0，且a+b0，则以下不等式中正确的是（）ABCa2b2D|a|b|【考点】不等式比较大小【专题】计算题【分析】把不等式 a+b0的两边同时除以负数ab可得0，化简可得，从而得出结论【解答】解：a+b0，ab0，0，故选A【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题3A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定【考点】二倍角的正弦【专题】解三角形【分析】利用sinA+cosA=，两边平方可得，进而判断出A是钝角【解答】解：sinA+cosA=，两边平
8、方可得：，化为，A（0，），sinA0，cosA0A为钝角这个三角形是钝角三角形故选：B【点评】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题4函数f（x）=+a（x0），则“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】首先根据f（x）是奇函数求出a的值，求出f（x）的表达式，将x=1代入f（x），从而求出答案【解答】解：函数f（x）=+a，（a0）为奇函数，+a=a，解得a=，f（x）=+，f（1）=+=1，故“f（1）=1”是“函
9、数f（x）为奇函数”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查函数的值的知识点，解答本题的关键是根据奇函数的知识求出a的值，然后解方程，本题基础题，比较简单5已知函数f（x）=sinxcosx（0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【专题】综合题【分析】由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得
10、到结论【解答】解：函数f（x）=sinxcosx=2sin（x）又函数f（x）=sinxcosx（0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于=故函数的最小正周期T=，又0=2故f（x）=2sin（2x）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位可得y=g（x）=2sin2（x+）=2sin2x的图象令+2k2x+2k，即+kx+k，kZ故函数y=g（x）的减区间为+k， +k，kZ当k=0时，区间，为函数的一个单调递减区间又，故选A【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（x+）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键6设向量，满足
11、|=1，与的夹角为150，则|的取值范围是（）A，1）B，+）C，+）D（1，+）【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】平面向量及应用【分析】作OAB，设=， =，由题意易得OAB=30，由正弦定理可得|=，由B的范围可得【解答】解：作OAB，设=， =，则=，与的夹角为150，即与夹角为150在OAB中，OAB=30，由正弦定理得=，0B150，0sinB1，02sinB2，|=，+）故选：B【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及正弦定理的应用，属中档题7函数y=的大致图象如图所示，则（）Aa（1，0）Ba（0，1）Ca（，1）Da（1，+）【考点】函数的图象【专题】压轴题；函数的性质及
12、应用【分析】考查x0时函数的图象特点，结合基本不等式得出关于a的不等关系求解即可【解答】解：当x=0时，y=0，故a0，当x0 时，y=当且仅当x=时取等号，由图知，当x0时，函数取得最大值时相应的x的值小于1，01，0a1，故选：B【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题8定义在（，0）（0，+）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列an，f（an），仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”现有定义在（），0）（0，+）上的如下函数：f（x）=3x，f（x）=，f（x）=x3，f（x）=log2|x|，则
13、其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）ABCD【考点】数列的应用【专题】计算题；阅读型；探究型；函数思想；等差数列与等比数列【分析】不妨设等比数列an中，an=a1qn1，从而依次求，从而判断是否是等比数列即可【解答】解：不妨设等比数列an中，an=a1qn1，f（x）=3x，=常数，故当q1时，f（an）不是等比数列，故f（x）=3x不是等比函数；f（x）=，=，故f（an）是等比数列，故f（x）=是等比函数；f（x）=x3，=q3，故f（an）是等比数列，故f（x）=x3是等比函数；f（x）=log2|x|，=，故f（an）不是等比数列，故f（x）=log2|x|不是等比函数故其中是“等
14、比函数”的f（x）的序号，故选：D【点评】本题考查了等比数列的应用及等比函数的判断，同时考查了学生对新知识的接受与应用能力二、填空题（本大题共7小题，9-12题：每空格3分，13-15题：每小题3分，共36分）9己知R，sin+3cos=，则tan2=【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简求出tan的值，再利用二倍角的正切函数公式化简tan2，将tan的值代入计算即可求出值【解答】解：已知等式两边平方得：（sin+3cos）2=5，即6sincos+8cos2=4，整理得：（tan2）（2tan+1）=0，
15、解得：tan=2或tan=，当tan=2时，tan2=；当tan=时，tan2=故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键10已知首项为1，公差不为0的等差数列an的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比q=；等差数列an的通项公式an=3n2；设数列an的前n项和为Sn，则Sn=【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由等比数列和等差数列的性质得（1+3d）2=（1+d）（1+8d），从而求出d=3，由此能求出这个等比数列的公比q，等差数列an的通项公式an和
16、数列an的前n项和Sn【解答】解：首项为1，公差不为0的等差数列an的第2，4，9项成等比数列，（1+3d）2=（1+d）（1+8d），解得d=0（舍）或d=3，这个等比数列的公比q=等差数列an的通项公式an=1+（n1）3=3n2数列an的前n项和Sn=n1+=故答案为：，3n2，【点评】本题考查等比数列的公比q，等差数列an的通项公式an和数列an的前n项和Sn的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用11设二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），则+的最小值为3；若ax24x+c0的解集为 （1，2），则ac=12【考点】二次函数的性质
17、【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据二次函数的性质求出ac=4，根据基本不等式的性质求出+的最小值即可；（2）问题转化为1，2是方程ax24x+c=0的解，求出a，c的值即可【解答】解：二次函数f（x）=ax24x+c的值域为0，+），解得a0，c0，ac=4，+2=2=3，若ax24x+c0的解集为 （1，2），则1，2是方程ax24x+c=0的解，解得：，ac=12，故答案为：3，12【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题12已知函数f（x）=，则f（x）的递增区间为（，1，函数g（x）=f（x）的零点个数为2个【考点】函数的图象；函数零点的判定定理【专
18、题】函数的性质及应用【分析】先把绝对值函数化为分段函数，再根据每段函数的图象和性质得到函数的单调增区间，画出函数的图象，通过交点的个数判断零点的个数【解答】解：f（x）=，f（x）的递增区间为（，1，分别画出y=f（x）和y=的图象，如图所示，y=f（x）和y=有两个交点，函数g（x）=f（x）的零点个数为2个故答案为：（，1，2【点评】本题考查了分段函数的图象和性质，以及函数的零点问题，属于基础题13已知集合A=（x，y）|x|1，|y|1，若存在（x，y）A，使不等式x2y+m0成立，则实数m最小值是3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数
19、形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，若存在（x，y）A，使不等式x2y+m0成立，则只需要点B（1，1）满足不等式x2y+m0成立即可，则1+2+m0，即m3即可，故实数m最小值是3，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键注意本题为存在性问题的求解14已知ABC中，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是【考点】两向量的和或差的模的最值【专题】平面向量及应用【分析】如图所示，建立直角坐标系设B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）由=2，可得b2+c2=4由向量的平行四边形法则可得：，可得=（x，y）（b
20、，c）=bx+cy=1.利用数量积的性质可得（x2+y2）（b2+c2）（bx+cy）2，可得，即又，可得1=（bx+cy）=，于是x2+y21，进而得出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系设B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）=2，b2+c2=4，=（x，y）（b，c）=bx+cy=1，（x2+y2）（b2+c2）（bx+cy）2，4（x2+y2）1，即又，1=（bx+cy）=，b0，c0，x0，y0x2+y21，即（当且仅当x=0或y=0时取等号）综上可知：故答案为：【点评】本题综合考查了向量的平行四边形法则、数量积的运算性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难
21、题15已知函数ft（x）=（xt）2t（tR），设ab，f（x）=，若函数y=f（x）+x+ab有三个零点，则ba的值为2+【考点】函数零点的判定定理【专题】综合题；数形结合；函数的性质及应用【分析】解方程fa（x）=fb（x）得交点坐标，函数f（x）的图象与直线l：y=x+ba有三个不同的交点，由图象知，点P在l上，故，由此解得ba的取值【解答】解：作函数f（x）的图象，且解方程fa（x）=fb（x）得，（xa）2a=（xb）2b，解得x=，此时y=（a）2a=（）2a，即交点坐标为（，（）2a），若y=f（x）+x+ab有三个零点，即f（x）+x+ab=0有三个根，即f（x）=x+ba，分
22、别作出f（x）与y=x+ba的图象如图：要使函数y=f（x）+x+ab有三个零点，即函数f（x）的图象与直线l：y=x+ba有三个不同的交点由图象知，点P在l上，所以（）2a=+ba，即（）2=，设t=ba，则t0，则方程等价为，即t24t1=0，即t=2，t0，t=2+，即ba=2+，故答案为：2+【点评】本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16设ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=（）求角B（）若b=3，cos
23、A=，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）由正弦定理化简已知等式可得a2b2=acc2，利用余弦定理可求cosB，又结合范围0B，即可求得B的值；（）由已知及同角三角函数关系式可求sinA，结合正弦定理可求a，求得sinC后，即可利用三角形面积公式求解【解答】解：（）因为，所以，所以a2b2=acc2，所以，又因为0B，所以B=（）由b=3，cosA=可得sinA=，由可得a=2，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=所以ABC的面积=【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角
24、形面积公式的应用，熟练掌握公式定理是解题的关键，属于中档题17已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn+an=2（）求数列an的通项公式；（）求满足不等式的n的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（I）利用递推关系即可得出；（II）利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（）满足Sn+an=2n=1时，a1=1，当n2时，Sn1+an1=2，Sn+anSn1an1=02an=an1，a1=10，（），n6，nN*【点评】本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图，在四棱锥PABCD中，底面AB
25、CD是平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=（）证明：MN平面PCD；（）求直线MN与平面PAD所成角的正切值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MNCE即可判定MN平面PCD（其它证法酌情给分）（）方法一：可证平面PAD平面ABCD，过M作MFAD，则MF平面PAD，连结NF则MNF为直线MN与平面PAD所成的角，解三角形可得解；方法二：PAAB，PAAC，又可证ABAC，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空
26、间直角坐标系Axyz，设平面PAD的一个法向量为，则设MN与平面PAD所成的角为，则由夹角公式即可求得MN与平面PAD所成角的正切值【解答】解：（）证明：取PD中点E，连结NE，CEN为PA中点，NE，又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，MCNEMC，即MNEC为平行四边形，MNCEEC平面PCD，且MN平面PCD，MN平面PCD （其它证法酌情给分）（）方法一：PA平面ABCD，PA平面ABCD，平面PAD平面ABCD，过M作MFAD，则MF平面PAD，连结NF则MNF为直线MN与平面PAD所成的角，由AB=1，AD=2，得ACCD，由ACCD=ADMF，得，在RtAMN中，AM=AN
27、=1，得在RtMNF中，直线MN与平面PAD所成角的正切值为 方法二：PA平面ABCD，PAAB，PAAC，又AB=1，BC=AD=2，AB2+AC2=BC2，ABAC 如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则，N（0，0，1），P（0，0，2），设平面PAD的一个法向量为，则由，令y=1得，设MN与平面PAD所成的角为，则，MN与平面PAD所成角的正切值为【点评】本题主要考查了线与平面平行的判定，求直线MN与平面PAD所成角的正切值，关键在于熟练掌握平面垂直的性质与直线与平面平行的判定定理及其应用，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题19如图，在平面
28、直角坐标系xOy中，点A（8，4），P（2，t）（t0）在抛物线y2=2px（p0）上（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标【考点】抛物线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）运用代入法，即可求得p，t；（2）求得M（2，0），求出直线AM的方程，代入抛物线方程，可得B的坐标，运用正弦的斜率公式，可得k1=，k2=2，代入k1+k2=2k3得k3，进而得到直线PC方程，再联立直线AM的方程，即可得到C的坐标【解答】
29、解：（1）将点A（8，4）代入y2=2px，得p=1，将点P（2，t）代入y2=2x，得t=2，因为t0，所以t=2 （2）依题意，M的坐标为（2，0），直线AM的方程为y=x+，联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），所以k1=，k2=2，代入k1+k2=2k3得，k3=，从而直线PC的方程为y=x+，联立直线AM：y=x+，并解得C（2，）【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查方程的运用，注意联立直线方程和抛物线方程求交点，以及直线的斜率公式的运用和两直线的交点问题转化为解方程，属于中档题20已知函数f（x）=x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间1，1上的最大值为
30、M（）若b=2，试求出M；（）若Mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值【考点】函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（）把b=2代入函数解析式，由函数在区间1，1上是增函数得到M是g（1）和g（1）中较大的一个，由此根据c的范围试求出M；（）把函数g（x）配方，然后分|b|1时，|b|1时由函数y=g（x）的单调性求出其最大值，又g（b）=|b2+c|，再分当1b0时和0b1时，求出最大值M，经比较可知对任意的b、c都有再求出当b=0，时g（x）在区间1，1上的最大值，由此可得Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为【解答】解：（）当b=2
31、时，f（x）=x2+2bx+c在区间1，1上是增函数，则M是g（1）和g（1）中较大的一个，又g（1）=|5+c|，g（1）=|3+c|，则；（）g（x）=|f（x）|=|（xb）2+b2+c|，（i）当|b|1时，y=g（x）在区间1，1上是单调函数，则M=maxg（1），g（1），而g（1）=|12b+c|，g（1）=|1+2b+c|，则2Mg（1）+g（1）|f（1）f（1）|=4|b|4，可知M2（ ii）当|b|1时，函数y=g（x）的对称轴x=b位于区间1，1之内，此时M=maxg（1），g（1），g（b），又g（b）=|b2+c|，当1b0时，有f（1）f（1）f（b），则M=maxg（b），g（1）（g（b）+g（1）|f（b）f（1）|=；当0b1时，有f（1）f（1）f（b）则M=maxg（b），g（1）（g（b）+g（1）|f（b）f（1）|=综上可知，对任意的b、c都有而当b=0，时，在区间1，1上的最大值，故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为【点评】此题是个难题，考查二次函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域解决该类问题一般应用赋值法特别是问题（）的分类讨论，增加了题目的难度，综合性强
