1、正弦函数、余弦函数的性质(一) (20分钟35分)1.函数y=3cos的最小正周期是()A.B.C.2D.5【解析】选D.因为y=3cos,=,所以T=5.【补偿训练】函数f(x)=sin ,xR的最小正周期为()A.B.C.2D.4【解析】选D.由题意知T=4.2.已知函数f(x)=sin,则f(x)是()A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为2的奇函数D.周期为2的偶函数【解析】选D.因为f(x)=sin=sin=cos x,因此函数f(x)=sin是周期为2的偶函数.3.函数y=sin(0)是R上的偶函数,则的值是()A.0B.C.D.【解析】选C.由题意得sin(-)=1,即s
2、in =1.因为0,所以=.4.函数y=-xcos x的部分图象是下图中的()【解析】选D.因为函数y=-xcos x是奇函数,图象关于原点对称,所以排除A,C;当x时,y=-xcos x0)的相邻两个零点之间的距离为,则的值为()A.3B.6C.12D.24【解析】选B.函数f(x)=cos(0)的相邻两个零点之间的距离为,所以T=2=,又=,解得=6.5.若函数f(x)=asin x+2x+3,且f(-1)=7,则f(1)=()A.4B.-4C.1D.-1【解析】选D.函数f(x)=asin x+2x+3,令g(x)=asin x+2x,则g(-x)=-asin x-2x=-g(x),所以
3、g(x)=asin x+2x是奇函数,f(-1)=g(-1)+3=7,g(-1)=4,g(1)=-4,f(1)=g(1)+3=-4+3=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=cos(k0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是.【解析】由T=2,解得k4,又kZ,所以满足题意的最小值是13.答案:137.若函数f(x)的定义域为R,最小正周期为,且满足f(x)=则f=.【解析】f=f=f=sin =.答案:8.已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在-2,2上至少有个实数根.【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又因为
4、函数f(x)以2为周期,所以f(2)=f(-2)=f(0)=0,且解得f(-1)=f(1)=0,故方程f(x)=0在-2,2上至少有5个实数根.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=-2cos 3x.(2)f(x)=xsin(x+).【解析】(1)函数的定义域为R,且f(-x)=-2cos 3(-x)=-2cos 3x=f(x),所以f(x)=-2cos 3x为偶函数.(2)函数的定义域为R,且f(x)=xsin(x+)=-xsin x,所以f(-x)=xsin(-x)=-xsin x=f(x),故f(x)=xsin(x+)为偶函数.10.函数f(x)满足f(x+2)=-.求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.【证明】因为f(x+4)=f(x+2)+2)=-=f(x),所以f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.1.若函数f(x)=2cos的最小正周期为T,且T(1,3),则的最大正整数值是.【解析】|=,因为T(1,3),所以|2.所以的最大正整数值为6.答案:62.已知函数f(x)=cos,若函数g(x)的最小正周期是,且当x时,g(x)=f,求关于x的方程g(x)=的解集.【解析】当x时,g(x)=f=cos.因为x+,所以由g(x)=解得x+=-或,即x=-或-.又因为g(x)的最小正周期为.所以g(x)=的解集为.
