1、 数 学N单元 选修4系列 N1 选修4-1 几何证明选讲15N12014广东卷 (几何证明选讲选做题)如图13所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_图13159解析 本题考查相似三角形的性质定理，面积比等于相似比的平方EB2AE，AEABCD.又四边形ABCD是平行四边形，AEFCDF，9.15N12014湖北卷 (选修41：几何证明选讲)如图13，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交O于C，D两点，若QC1，CD3，则PB_图13154解析 由切线长定理得QA2QCQD1(13)4，解得QA2.故PBPA2Q
2、A4.12N12014湖南卷 如图13所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB，BC2，则O的半径等于_图1312.解析 设圆的半径为r，记AO与BC交于点D，依题可知AD1.由相交弦定理可得1(2r1)，解得r.22N12014辽宁卷 选修41：几何证明选讲如图17所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.图1722证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA，又因为PGDEGA，所以DBAEGA，所以DBABADE
3、GABAD，从而BDAPFA.又AFEP，所以PFA90，所以BDA90，故AB为圆的直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而得RtBDARtACB，于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.因为ABEP，所以DCEP，DCE为直角，所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以EDAB.22N12014新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图16，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.图16(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，
4、且MBMC，证明：ADE为等边三角形22证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD，所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形22N12014新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图14，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E，证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.图1422证明：(1)连接AB
5、，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而BEEC.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.152014陕西卷 图13BN1(几何证明选做题)如图13，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_15 B3 解析 B由题意，可知AEFACB，又AA，所以AEFACB，所以.因为AC2AE，BC6，所以EF3.6N12014天津卷 图12如图12所示，ABC是圆的内接三
6、角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A B C D6D解析 如图所示，13，24，且12，43，BD平分CBF，ABFBDF.，ABBFAFBD.，BF2AFDF.故正确14N12014重庆卷 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，则AB_144解析 根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得PA2PBPCPB(PBBC)，即36PB(PB9)PB3，PC12
7、.由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，PABPCA，即AB4.N2 选修4-2 矩阵21N22014福建卷 ()选修42：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵(1)求矩阵A；(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量21. ()解：(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且221130，所以A .(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f()0，得矩阵A1的特征值为11或23，所以1)是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2)是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量N3 选修4-4 参数与参数方程13N32014天津卷 在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线
8、sin a相交于A，B两点若AOB是等边三角形，则a的值为_133解析 将4sin 与sin a转化为直角坐标方程分别为x2(y2)24与ya.联立得x2a24a，且0a4.AOB为等边三角形，a23(a24a)，解得a3或a0(舍)4N32014安徽卷 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为()A. B2C. D24D解析 直线l的普通方程为yx4，圆C的直角坐标方程是(x2)2y24，圆心(2，0)到直线l的距离d，所以直线l被圆C截得的弦长为2
9、2 .3N32014北京卷 曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上 B在直线y2x上C在直线yx1上 D在直线yx1上3B解析 曲线方程消参化为(x1)2(y2)21，其对称中心点为(1，2)，验证知其在直线y2x上21 N3 2014福建卷 ()选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围21. ()解：(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.14N32014广
10、东卷 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_14(1，1)解析 本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法将曲线C1的方程sin 2cos 化为直角坐标方程为y2x，将曲线C2的方程sin 1化为直角坐标方程为y1.由解得故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1，1)16N32014湖北卷 (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，则C
11、1与C2交点的直角坐标为_16.解析 由消去t得yx(x0)，即曲线C1的普通方程是yx(x0)；由2，得24，得x2y24，即曲线C2的直角坐标方程是x2y24.联立解得故曲线C1与C2的交点坐标为.11N32014湖南卷 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(为参数)交于A，B两点，且|AB|2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_11cos sin 1解析 依题意可设直线l：yxb，曲线C：的普通方程为(x2)2(y1)21.由|AB|2可知圆心(2，1)在直线l：yxb上，即l：yx1，所以l的极坐标方程是cos sin 10.11N32
12、014江西卷 (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，011(2)A解析 依题意，方程y1x的极坐标方程为(cos sin )1，整理得.因为0x1，所以 0y1，结合图形可知，0.23N32014辽宁卷 选修44：坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与
13、l垂直的直线的极坐标方程23解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由xy1得x21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.23N32014新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值23解：(1)曲线C
14、的参数方程为(为参数)，直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.23N32014新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标23解：(1)C的普通方程为
15、(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为，即.152014陕西卷 CN3(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线sin1的距离是_15C1解析 C点的极坐标可化为xcos 2cos，ysin 2sin1，即点在平面直角坐标系中的坐标为(，1)直线sinsin coscos sin1，即该直线在直角坐标系中的方程为xy20，由点到直线的距离公式得所求距离为d1.自选模块2N32014浙江卷
16、 (1)在极坐标系Ox中，设集合A(，)|0，0cos ，求集合A所表示区域的面积；(2)在直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，曲线C：(为参数)，其中a0.若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围解：(1)在cos 两边同乘，得2cos .化成直角坐标方程，得x2y2x，即y2.所以集合A所表示的区域为：由射线yx(x0)，y0(x0)，圆y2所围成的区域，如图所示的阴影部分，所求面积为.(2)由题意知，直线l的普通方程为xy40.因为曲线C上所有点均在直线l的右下方，故对R，有acos 2sin 40恒成立，即cos()4恒成立，所以4.又a0，得0a2 .15N32014
17、重庆卷 已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0，02)，则直线l与曲线C的公共点的极径_15. 解析 由题意，得直线l的普通方程为xy10，曲线C的平面直角坐标方程为y24x，联立直线l与曲线C的方程，解得所以直线l与曲线C的公共点的极径.N4 选修4-5 不等式选讲21 N42014福建卷 ()选修45：不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.21. ()解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x
18、2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.8N4、J22014广东卷 设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60 B90 C120 D1308D解析 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解由“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”考虑x1，x2，x3，x4，x
19、5的可能取值，设集合M0，N1，1当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C22种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C2种方法故总共有C23C22C2130种方法，即满足题意的元素个数为130.9N42014广东卷 不等式|x1|x2|5的解集为_9(，32，)解析 本题考查绝对值不等式的解法|x1|x2|5的几何意义是数轴上的点到1与2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x3或x2，即不等式的解集为(，32，)13N4201
20、4湖南卷 若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_133解析 依题意可得3ax23，即1ax5 ，而x，即13x5，所以a3.11N42014江西卷 (1)(不等式选做题)对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1 B2 C3 D411(1)C解析 易知|x1|x|1，当且仅当0x1时等号成立；|y1|y1|2, 当且仅当1y1时等号成立故|x1|x|y1|y1|3.24N42014辽宁卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.24
21、解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x0，b0，且.(1)求a3b3的最小值(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由.24.解：(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324 ，当且仅当ab 时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使2a3b6.24N42014新课标全国卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围24解：(1)证明：由a0，有f(x)|xa|a2，所以f(x)2.(2)f(3
22、)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得a3.综上，a的取值范围是.152014陕西卷 AN4(不等式选做题)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_15A.解析 A由柯西不等式可知(a2b2)(m2n2)(manb)2，代入数据，得m2n25，当且仅当anbm时，等号成立，故 的最小值为.自选模块1N42014浙江卷 (1)解不等式2|x2|x1|3；(2)设正数a，b，c满足abcabc，求证：ab4bc9ac36，并给出等号成立条件解：(1)当x1时，2(2x)(x1)3，得x2，此时x1；当1x2时，2(2x)(
23、x1)3，得x0，此时1x2时，2(x2)(x1)3，得x8，此时x8.综上所述，原不等式的解集是(，0)(8，)(2)证明：由abcabc，得1.由柯西不等式，得(ab4bc9ac)(123)2，所以ab4bc9ac36，当且仅当a2，b3，c1时，等号成立16N42014重庆卷 若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_16.解析 令f(x)|2x1|x2|，则当x5；当2x时，f(x)2x1x2x3，故f(x)5；当x时，f(x)2x1x23x1.综合可知f(x)，所以要使不等式恒成立，则需a2a2，解得1a.12014长沙模拟 已知点P所在曲线的极坐标方
24、程为2cos ，点Q所在曲线的参数方程为(t为参数)，则|PQ|的最小值是()A2 B.1C1 D.11D解析 易知点P在圆x2y22x0上，圆心为(1，0)，半径为1，点Q在直线2xy20上，故|PQ|的最小值是11.42014株洲模拟 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴)中，直线C2的方程为(cos sin )10，则曲线C1与C2的交点的个数为_42解析 由题意，曲线C1的参数方程(为参数)可化为一般方程1，直线C2的极坐标方程(cos sin )10可化为普通方程xy10.联立两个方
25、程，消去y可得1，即7x28x80.因为824780，所以直线与椭圆相交，且有两个交点52014湖南长郡中学月考 在极坐标系中，圆C1的方程为4 cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆C2的参数方程为(a0，为参数)若圆C1与圆C2外切，则实数a_5.解析 依题意，4 cos4cos 4sin ，化成普通方程为x2y24x4y，即(x2)2(y2)28，即该圆的圆心为C1(2，2)，半径r12 .将(a0，为参数)化成普通方程为(x1)2(y1)2a2，即圆心为C2(1，1)，半径r2a.由丙点间两圆外切可得|C1C2|3 2 a，所以a.62014衡阳模拟 已
26、知曲线C的极坐标方程为4cos .若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的参数方程为_6.(为参数)解析 由曲线C的极坐标方程为4cos ，可得其普通方程为x2y24x，即(x2)2y24，所以曲线C的参数方程为(为参数)72014湖南雅礼中学月考 已知极坐标系下曲线4sin 表示圆，则点A到圆心的距离为_72 解析 将曲线4sin 化成普通方程为x2y24y，则该圆的圆心为(0，2)，而点A的直角坐标为(2 ，2)，由两点间距离公式可得d2 .82014湖南十三校联考 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为2cos ，若直线l经过圆C的圆心，则常数a的值为_81解析 将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为yxa，将圆C的极坐标方程2cos 化为普通方程为x2y22x，则圆心为(1，0)，代入直线yxa可得a1.92014湖南师大附中月考 在极坐标系中，已知点A的极坐标为(2，)，直线l的极坐标方程为sin，则点A到直线l的距离是_92 解析 由题意，直线l的极坐标方程为sin coscos sin ，即sin cos 2，则直线l的直角坐标方程为xy20.又点A的直角坐标为(2，0)，所以点A到直线l的距离d2 .