1、课时作业(二十三)第23讲解三角形的应用时间：45分钟分值：100分1已知两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西102已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，观测得ABC120，则AC两地的距离为()A10 km B. kmC10 km D10 km3有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1 B2sin10C2cos10 Dcos2042011北京朝阳区二模 如图K231，一艘船上午8：00在A处测
2、得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距4 n mile，则此船的航行速度是_ n mile/h.图K2315如图K232，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为()图K232A50 m B50 mC25 m D. m6两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC2a km D
3、.a km7据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是()A. m B10 mC. m D20 m82011江门一模 海事救护船A在基地的北偏东60，与基地相距100 n mile，渔船B被困海面，已知B距离基地100 n mile，而且在救护船A的正西方，则渔船B与救护船A的距离是()A100 n mile B200 n mileC100 n mile或200 n mile D10
4、0 n mile9某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15 m B5 m C10 m D12 m10已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_ km.11如图K233，在坡角为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为_米图K233122011潍坊二模 如图K234，为测得河对岸塔AB
5、的高，先在河岸上选取一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_ m.图K234132011珠海二模 ABC中，AB2，BC，A45，B为ABC中最大角，D为AC上一点，ADDC，则BD_.14(10分)以40 km/h向北偏东30航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3分钟后气球上升到1000米处，从探测船上观察气球，仰角为30，求气球的水平飘移速度15(13分)2011开封二模 如图K235所示，甲船由A岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A
6、岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇，求m.(2)当m10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少 n mile?图K23516(12分)某海岛上有一座海拔1 km的山，山顶上有一观察站P(P在海平面上的射影点为A)，测得一游艇在海岛南偏西30，俯角为45的B处，该游艇准备前往海岛正东方向，俯角为45的旅游景点C处，如图K236所示(1)设游艇从B处直线航行到C处时，距离观察站P最近的点为D处(i)求证：BC平面PAD；(ii)计算B、D两点间的距离(2)海水退潮后，在(1)中的点D处周
7、围0.25 km内有暗礁，航道变窄，为了有序参观景点，要求游艇从B处直线航行到A的正东方向某点E处后，再沿正东方向继续驶向C处为使游艇不会触礁，试求AE的最大值图K236课时作业(二十三)【基础热身】1B解析 如图，CBA(18080)50，605010.2D解析 如图，ABC中，AB10，BC20，B120.由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos120，10220221020700，AC10 km.3C解析 如图，在ACD中，由正弦定理，有，AD2cos10.416解析 如图，在ABS中，由正弦定理，有，AB8，故此船的航行速度是816(nmile/h)【能力提升】5A解析 由题意
8、，得B30.由正弦定理，得，AB50(m)6D解析 依题意得ACB120，由余弦定理，得cos120.AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a23a2，ABa.7A解析 如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理知，AO米8C解析 如图，设基地的位置为O，在OAB中，OA100，OB100，OAB30，由余弦定理，有OB2AB2OA22ABOAcosOAB，即AB2300AB210020，解得AB100，或AB200.9C解析 如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh
9、.在OCD中，OCD120，CD10.由余弦定理得，OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10，或h5(舍)10.1解析 如图，由题意可得，ACB120，AC2，AB3，设BCx，则由余弦定理可得，AB2BC2AC22BCACcos120，即32x22222xcos120，整理得x22x5，解得x1.1130解析 设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BCh.在ABC中，AB10，CAB45，ABC105，所以ACB30，由正弦定理得，故h30.1210解析 在BCD中，CD10，BDC45，BCD9
10、015105，CBD1801054530，由正弦定理，有，则BC10，在RtABC中，ABBCtan6010.13.解析 在ABC中，由正弦定理，有，即sinC，cosC，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，由正弦定理，有，得AC3.ADDC，AD1，DC2，在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos45(2)2122215，BD.14解答 如图，船从A航行到C处，气球飘到D处由题知，BD1000米1千米，AC2千米，BCD30，BC千米设ABx千米，在ABC中，BAC903060，由余弦定理得22x222xcos60()2，x22x10，x1.气球水平飘移速度为20(
11、km/h)15解答 (1)设t小时后，两船在M处相遇，由tan，得sin，cos，所以sinAMBsin(45).由正弦定理，AM40，同理得BM40.t，m15.(2)以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)处，则|AP|15t，|BQ|10t.由任意角三角函数的定义，可得即点P的坐标是(15t,15t)，即点Q的坐标是(10t,20t40)，|PQ|20，当且仅当t4时，|PQ|取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20海里【难点突破】16解答 (1)(i)证明：连接PD，AD，游艇距离观察站
12、P最近的点为D处，PDBC.又依题意可知PA平面ABC，PABC.又PAPDP，BC平面PAD.(ii)依题意知PAAB，PBA45，PA1，AB1，同理AC1，且BAC120，ABCACB30.又BCAD，D为BC的中点，且BD.(2)解法一：依题意过点B作圆D的切线交AC于点E，切点为G，则AE取得最大值设AEx，则CE1x，过点E作EFBC于F，则EF.连接DG，则DGBE，RtBGDRtBFE，BE(1x)在ABE中，BE2AB2AE22ABAEcosBAC，即3(1x)21x2x，化简得2x27x20，解得x1，x2.又0x1，x，答：BD的长为千米，AE的最大值为千米解法二：在平面ABC内，以A为坐标原点，AC为x轴，建立直角坐标系，依题意，当直线BE与圆D相切时AE最长由已知AB1得B，可设直线BE：yk，即kxy0，由(1)知D为BC的中点，由C(1,0)知D.则D到直线BE距离为，即，得4k23k10，即k，直线BE的方程：y，令y0时，得x，即AE，答：BD的长为千米，AE的最大值为千米
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