1、对数函数的图象和性质的应用(习题课)A级基础巩固1已知函数ylog2(x22kxk)的值域为R，则k的取值范围是()A0k1B0k0，By|yR，所以AB.3已知函数f(x)lg(x21)，则()Af(x)是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)是R上的增函数Df(x)是R上的减函数解析：选A因为f(x)lg(x)21lg(x21)f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数故选A.4(2021浙江杭州西湖区高一月考)若定义运算f(ab)则函数f(log2(1x)log2(1x)的值域是()A(1，1) B0，1)C0，) D0，1解析：选Bf(ab)yf(log2(1x)log2(
2、1x)当0x1时，函数ylog2(1x)，因为ylog2(1x)在0，1)上为增函数，所以y0，1)当1x0时，函数ylog2(1x)，因为ylog2(1x)在(1，0)上为减函数，所以y(0，1)综上可得y0，1)，所以函数f(log2(1x)log2(1x)的值域为0，1)，故选B.5函数f(x)|logx|的单调递增区间是()A. B(0，1C(0，) D1，)解析：选Df(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为1，)6如果函数f(x)(3a)x与g(x)logax的增减性相同，则实数a的取值范围是_解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1a2；若f(x)，g(x)均为减函数，
3、则无解，故1a0，解得xa0，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是_解析：由f(x)的图象可知，0a1b，又f(a)f(b)，因此|lg a|lg b|，于是lg alg b，则b，所以a2ba，设g(a)a(0ag(1)3，即a3，所以a2b的取值范围是(3，)答案：(3，)9设函数f(x)lg (aR)，且f(1)0.(1)求a的值；(2)判断f(x)在区间(0，)上的单调性，并用单调性的定义证明解：(1)函数f(x)lg (aR)，且f(1)0，则f(1)lg 0.则1，解得a2.(2)f(x)lg 在区间(0，)上单调递减证明：设0x1x2，f(x1)f(x2)lg lg lg l
4、g(x21)lg(x11)，因为0x1lg(x11)，即f(x1)f(x2)，即函数f(x)在(0，)上单调递减10已知函数f(x)log2x.(1)若f(a)f(2)，求a的取值范围；(2)求ylog2(2x1)在x2，14上的最值解：函数f(x)log2x的图象如图所示(1)f(x)log2x为增函数，f(a)f(2)，log2alog22.a2，即a的取值范围是(2，)(2)2x14，32x127.log23log2(2x1)log227.函数f(x)log2(2x1)在x2，14上的最小值为log23，最大值为log227.B级综合运用11若函数f(x)对任意x1x2，都有0，则实数a
5、的取值范围是()A(0，1) B.C. D.解析：选D由条件知，分段函数f(x)在R上单调递减，则所以所以a0)，所以当log2x1，即x2时，f(x)取最小值4；D错误，f(x)没有最大值13已知函数yloga(2ax)在0，1上是减函数，则实数a的取值范围是_解析：令u2ax，则ylogau，因为a0，所以u2ax递减，由题意知ylogau在0，1内递增，所以a1.又u2ax在x0，1上恒大于0，所以2a0，即a2，综上，1a2.答案：(1，2)14已知a0，a1且loga3loga2，若函数f(x)logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为1.(1)求a的值；(2)解不等式log(
6、x1)log(ax)；(3)求函数g(x)|logax1|的单调区间解：(1)loga3loga2，a1，ylogax在a，2a上为增函数，loga(2a)logaaloga21，a2.(2)依题意可知解得1x，不等式的解集为.(3)g(x)|log2x1|，当x2时，g(x)0，则g(x)函数g(x)在(0，2上为减函数，在(2，)上为增函数，g(x)的单调递减区间为(0，2，单调递增区间为(2，)C级拓展探究15某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：同学甲发现：函数f(x)的定义域为
7、(1，1)；同学乙发现：函数f(x)是偶函数；同学丙发现：对于任意的x(1，1)都有f2f(x)；同学丁发现：对于任意的a，b(1，1)，都有f(a)f(b)f；同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足0.其中所有正确研究成果的序号是_解析：在中，因为f(x)lg ，所以0，解得函数的定义域为(1，1)，所以是正确的；在中，f(x)lg lg f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以是错误的；在中，对于任意x(1，1)，有flglg lg ，又2f(x)2lg lg ，所以是正确的；在中，对于任意的a，b(1，1)，有f(a)f(b)lg lglglg，又flg lg，所以是正确的；在中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足0，即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)lg lg是减函数，所以是错误的综上可知，正确研究成果的序号为.答案：6