1、第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课时跟踪检测一、选择题1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135的是()A， B，C， D，解析：，45，135，90，180.答案：B2如图，已知空间四边形每条边长和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A2B2C2D2解析：2a2，故A错；2a2，故B错；2a2，故D错；2|2a2，故C正确答案：C3若向量a(3,2，x)，b(1,0,2)，c(1，1,4)，满足条件(ca)b，则实数x的值()A1 B2C3 D4解析：ca(2，3
2、,4x)，(ca)b202(4x)0，解得x3.答案：C4如图，一个结晶体的形状是平行六面体ABCDA1B1C1D1，以A顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是()A.B2C. D解析：|.答案：D5A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC的中点，则AMD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析：M是BC的中点，()，()0，AMAD，AMD是直角三角形答案：C6在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D0解析：如图所示由()22222()
3、32，知正确；由()()0，知正确；与的夹角为120，故不正确答案：B二、填空题7已知空间向量a，b，c中每两个的夹角都是，且|a|4，|b|6，|c|2，则|abc|_.解析：|a|4，|b|6，|c|2，且a，ba，cb，c，|abc|2(abc)(abc)|a|2|b|2|c|22ab2ac2bc|a|2|b|2|c|22|a|b|cosa，b2|a|c|cosa，c2|b|c|cosb，c426222464262100，|abc|10.答案：108已知a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a_.解析：(2ab)a2a2ab242513.答案：139已知空间向量abc0
4、，|a|2，|b|3，|c|4，则cosa，b_.解析：abc0，abc，(ab)2|a|2|b|22ab|c|2，ab，cosa，b.答案：三、解答题10(2019山东济南高二月考)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值解：(1)，|.(2)cos，.异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.11如图，已知在空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明：ABCD，ACBD，0，0.()()22()0.，从而ADBC.12.如图所示，在直
5、三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，ACB90，D，E分别是AB，BB1的中点(1)求证：CEA1D；(2)求异面直线CE与AC1所成角的余弦值解：设a，b，c.根据题意，得|a|b|c|，abbcca0.(1)证明：bc，()cba.则bcc2b2bcabac|b|2|c|20，即CEA1D.(2)易知ac，|a|，又bc，|a|.(ac)c2|a|2，cos，.即异面直线CE与AC1所成角的余弦值为.13(2019银川模拟)正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为()A2 BC. D解析：如图所示，设a，b，c，则|a|b|c|2，且a，b60，a，c90，b，c90.又acb，|2a2c2b22acbcab4442002214115.|.即EF的长为.答案：C
