1、第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质第二课时直线与抛物线的位置关系课时跟踪检测一、选择题1抛物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28x By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y解析：由题意，可得2p8，抛物线方程为y28x或y28x.答案：C2在抛物线y28x中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax4y30 Bx4y30C4xy30 D4xy30解析：设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22，A，B在抛物线y28x上，y8x1，y8x2，两式相减，得(y1y2)(y1y
2、2)8(x1x2)，k4.直线AB的方程为y14(x1)，即4xy30.答案：C3已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：直线ykxkk(x1)，恒过定点(1,0)，而(1,0)在y22px(p0)内，直线与抛物线有一个或两个公共点答案：C4(2019郑州市期中)已知F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，以为半径的圆，直线4x3y2p0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则()A16 B4C. D解析：由题意，可得直线4x3y
3、2p0与x轴的交点是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，由得8x217px2p20xD，xA2p，|AB|AF|xA2p，|CD|DF|xD.16.答案：A5已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为()Ax1 Bx2Cx1 Dx2解析：由抛物线y22px，知焦点F，设直线方程为y.由得4x212pxp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p，3，p2，抛物线的准线方程为x1.答案：C6(2019绵阳模拟)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B
4、到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为()A(0，2) B(0,2)C(0，4) D(0,4)解析：在AOF中，点B为边AF的中点，故点B的横坐标为，因此，解得p，故抛物线方程为y22x，可得点B的坐标为，故点A的坐标为(0，2)答案：A二、填空题7直角ABC的三个顶点都在给定的抛物线y22x上，且斜边AB和y轴平行，则直角ABC斜边上的高的长度为_解析：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设C的坐标为，B的坐标为，则A的坐标为；，.又由RtABC的斜边为AB，则有ACCB，即0，变形可得|b2c2|4，而斜边上的高即C到AB的距离为2.答案：28直线yx1被抛物线y24x截得的弦的中点坐
5、标为_解析：由得(x1)24x，即x26x10，由韦达定理，得x1x26，中点的横坐标x03，又y0x012，中点坐标为(3,2)答案：(3,2)9抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则双曲线的离心率为_解析：由抛物线的定义，知15，p8，m216.又m0，m4，M(1,4)由双曲线y21，知A(，0)，渐近线方程y .又AM的斜率kAM，.又c，e.答案：三、解答题10(2019平顶山调研)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点，若AMB9
6、0，求k的值解：抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，过A，B两点的直线方程为yk(x1)，联立可得k2x22(2k2)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，y1y2k(x1x22)，y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)14.M(1,1)，(x11，y11)，(x21，y21)AMB90，0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，整理可得，x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)20，12420，即k24k40，k2.11求过定点P(1,1)，且与抛物线y22x只有一个公共点的直线l的方程解：当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，
7、当直线l的斜率存在时，若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y1，此时直线l与抛物线只有一个公共点；若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的斜率为k，则l的方程为y1k(x1)，由得ky22y2k20.由题意，得44k(2k2)0，得k.直线l的方程为(1)x2y10或(1)x2y10.综上所述，所求直线l的方程为y1或(1)x2y10或(1)x2y10.12(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的
8、坐标为(2,2)或(2，2)，所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN；当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0.则y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN，将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0，所以kBMkBN0，则BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.13(2019北京卷)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准
9、线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解：(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明：由(1)得，抛物线C的焦点为F(0，1)，x24y.设直线l的方程为ykx1(k0)由得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24，直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA，同理，得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，1n，1n，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，则n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)