1、332简单的线性规划问题第24课时简单的线性规划问题知识点一 求线性目标函数的最值1若实数x，y满足不等式组则xy的最大值为()A9 B C1 D答案A解析画出可行域如图令zxy，则当直线yxz过点A时，z最大由得A(4，5)，zmax4592设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为()A3，11 B3，11 C11，3 D11，3答案A解析作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z3x4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值易求A(3，5)，B(5，3)z最大35433，z最小3345113设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y的最小值为_答案7解析作出可行
2、域如图所示由图可知，z2x3y经过点A(2，1)时，z有最小值，z的最小值为74线性约束条件下，求z2xy的最大值和最小值解如图作出线性约束条件下的可行域，包含边界：其中三条直线中x3y12与3xy12交于点A(3，3)，xy10与x3y12交于点B(9，1)，xy10与3xy12交于点C(1，9)，作一组与直线2xy0平行的直线l：2xyz，即y2xz，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为z，当l经过点B时，z取最小值，此时z最大，即zmax29117；当l经过点C时，z取最大值，此时z最小，即zmin2197zmax17，zmin7知识点二 求非线性目标函数的最值5已知点P(x，y)
3、的坐标满足条件则x2y2的最大值为()A B8 C16 D10答案D解析画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1，1)，|OA|，B(2，2)，|OB|2，C(1，3)，|OC|则(x2y2)max|OC|2()2106已知实数x，y满足则的最大值为_答案2解析画出不等式组对应的平面区域，表示平面区域上的点P(x，y)与原点的连线的斜率则点A(1，2)，B(3，0)，027已知求x2y2的最小值和最大值解作出不等式组的可行域如图所示，由得A(1，3)，由得B(3，4)，由得C(2，1)，设zx2y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OCAC，
4、原点到点C的距离最小故zmax|OB|225，zmin|OC|258若x0，y0，且xy1，则(1)z的最大值；(2)z(x1)2y2的最小值解(1)即过点(x，y)与点(1，0)的直线斜率由图可知z的最大值为点(0，1)与点(1，0)的直线斜率，此时z1(2)z(x1)2y2为点(1，0)与点(x，y)距离的平方z最小值为点(1，0)与点(0，0)距离的平方此时z1知识点三 线性规划中的参数问题9已知点P(x，y)的坐标满足约束条件若zx3ym的最小值为6，则m()A1 B2 C3 D4答案D解析根据题意，作出可行域(如下图)，由图可知目标函数在点处取得最小值6，从而m64故选D易错点 忽略
5、最值与直线截距之间的关系10如果实数x，y满足条件那么z2xy的最大值为_易错分析本题目标函数整理得y2xz，当纵截距最大时z最大，易错得zmax3答案1解析作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，平移直线2xy0，当其经过直线y10与直线xy10的交点(0，1)时目标函数取得最大值，即zmax20(1)1一、选择题1设变量x，y满足约束条件 则目标函数z4x2y的最大值为()A12 B10 C8 D2答案B解析如图，不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，当直线z4x2y经过点A时，z的值最大，因为点A的坐标是(2，1)，故z的最大值是422110选B2设x，y满足则zxy
6、()A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，也无最大值答案B解析作出不等式组表示的可行域如下图所示：zxy表示直线过可行域时，在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A点时，z有最小值联立解得A(2，0)z最小值2，z无最大值3如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()A B C4 D答案B解析zaxy，yaxz，当akAC时，最优解有无穷多个kAC，a故选B4在平面直角坐标系中，动点M(x，y)满足条件动点Q在曲线(x1)2y2上，则|MQ|的最小值为()A BC1 D答案A解析圆
7、(x1)2y2的圆心坐标为(1，0)，半径r，则圆心到可行域的最小距离为到直线xy20的距离，即d，所以|MQ|的最小值为dr故选A5已知变量x，y满足约束条件若x2y5 恒成立，则实数a的取值范围为()A(，1 B1，)C1，1 D1，1)答案C解析由题意作出可行域，如图所示，由图易知a1x2y5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x2y5的右上方，即点A在直线x2y5上或其右上方易知A点坐标为(a，a1)，所以a2(a1)5，所以实数a的取值范围为1，1故选C二、填空题6设变量x，y满足约束条件则zx3y的最小值为_答案8解析在坐标平面内画出不等式组所表示的平面区域，作出直线x3y0，平移该
8、直线，再结合图形不难得出当直线平移到经过该平面区域内的点(2，2)时，zx3y取得最小值等于23287已知点P(x，y)满足点A(2，0)，则|sinAOP(O为坐标原点)的最大值为_答案解析由于|sinAOP|yP，故将不等式组表示的可行域作出如下图所示，如图易知直线3x5y25与直线x1的交点P的纵坐标取得最大值，解得yP8已知变量x，y满足约束条件若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3，1)处取得最大值，则a的取值范围是_答案(1，)解析由变量x，y满足约束条件1xy4，2xy2，在坐标系中画出可行域，如图中的阴影部分所示，为四边形ABCD，其中A(3，1)，kAD1，kAB1目标函数
9、zaxy(其中a0)中的z表示斜率为a的一族平行直线在y轴上的截距的大小，若仅在点(3，1)处取得最大值，则斜率应小于kAB1，即a1，所以a的取值范围是(1，)三、解答题9画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(包括边界)，结合图形可知x，y2，5(2)由题意知当x1时，1y2，有2个整点；当x0时，0y3，有4个整点；当x1时，1y4，有6个整点；当x2时，2y5，有8个整点所以平面区域内的整点共有246820个10已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范围解(1)作出可行域如下图，计算得点A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方过点M作AC的垂线，易知垂足N在AC上，故|MN|MN|22z的最小值为(2)z2表示可行域内点(x，y)与定点Q1，连线斜率的2倍kQA，kQBz的取值范围是，