1、第6讲函数与导数题型一利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题例1(13分)(2022安徽)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.规范解答解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.1分令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2).2分当xx2时，f(x)0；当x1x0.4分故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增.5分(2)因为a0，所以x10.6分当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0,1上单调递增，所以f
2、(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值；8分当0a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减，所以f(x)在xx2处取得最大值.10分又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；11分当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；12分当1a4时，f(x)在x0处取得最小值.13分评分细则第(1)问得分点1.若没写出定义域可不扣分.2.若f(x)0解集出错，只得2分.3.若(，x1)和(x2，)中间用连接，扣1分.第(2)问得分点1.没根据a4与0a4分类讨论，不得分.2.当0a4时，没根据0a1，a1,1a4与0a4分类讨论
3、，同样得分.4.当0a4时，把a1合并在0a1或1a4讨论，同样得分.第一步：确定函数的定义域.如本题函数的定义域为R；第二步：求f(x)的导数f(x)；第三步：求方程f(x)0的根；第四步：利用f(x)0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；第五步：由f(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性；第六步：明确规范地表述结论；第七步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.跟踪训练1已知函数f(x)(xR).其中aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值.题型二导数的
4、综合应用问题例2(12分)(2022课标全国)f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)0，f(x)在(1，)单调递增.所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.7分若a1，故当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)单调递减，在(，)单调递增.所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f()，所以不合题意.9分若a1，则f(1)10时，函数f(x)的单调递增区间为(，a)，单调递减区间为(，)，(a，)，极大值为1，极小值为a2.当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，a)，(，)，单调递减区间为(a，)，极大值为1，极小值为a2.跟踪训练2解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.x，e，当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g()4e20，则g(e)g()，g(x)在，e上的最小值是g(e)g(x)在，e上有两个零点的条件是解得1m2，实数m的取值范围是(1,2
