1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析 考点一数列与函数的综合 1.设an是等比数列,函数y=x2-x-2 021的两个零点是a2,a3,则a1a4等于()A.2 021B.1C.-1D.-2 0212.在各项都为正数的数列an中,首项a1=2,且点(,)在直线x-9y=0上,则数列an的前n项和Sn等于()A.3n-1B.C.D.3.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+f(2n)等于()A.n(2n+3)B.n(n+4)
2、C.2n(2n+3)D.2n(n+4)4.已知f(x)=2sin x,集合M=x|f(x)|=2,x0,把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列an,nN*.数列an的通项公式为_.世纪金榜导学号5.已知函数f(x)=log2x,若数列an的各项使得2,f(a1),f(a2),f(an),2n+4成等差数列,则数列an的前n项和Sn=_. 世纪金榜导学号【解析】1.选D.由题意a2,a3是x2-x-2 021=0的两根.由根与系数的关系得a2a3=-2 021.又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021.2.选A.由点(,)在直线x-9y=0上,得-9=0,即(an+3an-1)(an
3、-3an-1)=0,又数列an各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-10,所以an-3an-1=0,即=3,所以数列an是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和Sn=3n-1.3.选A.由题意可设f(x)=kx+1(k0),则(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+f(2n)=(22+1)+(24+1)+(22n+1)=n(2n+3).4.因为|f(x)|=2,所以x=k+,kZ,x=2k+1,kZ.又因为x0,所以an=2n-1(nN*).答案:an=2n-1(nN*)5.设等差数列的公差为d,则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2
4、,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,从而a1=24,a2=26,a3=28,.易知数列an是等比数列,其公比q=4,所以Sn=(4n-1).答案:(4n-1)将题3改为设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的x,yR,都有f(x)f(y)=f(x+y).若a1=,an=f(n)(nN*),则数列an的前n项和Sn的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.在f(x)f(y)=f(x+y)中令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)f(1),又a1=,an=f(n)(nN*),则an+1=an,所以数列an是首项和公比都是的等比数列,其前n项和Sn=1-.数列
5、与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.秒杀绝招1.特例法解T2:由题意(, )在直线x-9y=0上,所以9=0,因为a1=2,易得a2=6,所以S2=8.验证四个选项可排除BCD.2.待定系数法解T3:先设出一次函数,由已知条件,确定出系数,再求解.考点二数列与不等式的综合【典例】数列an满足a1=1,an+1=2an
6、(nN*),Sn为其前n项和.数列bn为等差数列,且满足b1=a1,b4=S3.世纪金榜导学号(1)求数列an,bn的通项公式.(2)设cn=,数列cn的前n项和为Tn,证明:Tn.【解题导思】序号联想解题(1)由an是等比数列,求得an的通项公式,进而求其前n项和Sn , 再由等差数列bn与等比数列an的关系求出bn.(2)先化简求出cn =,利用裂项相消法求得数列cn的前n项和Tn,由数列Tn是一个递增数列证出结论【解析】(1)由题意知,an是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=a12n-1=2n-1.所以Sn=2n-1.设等差数列bn的公差为d,则b1=a1=1,b4=1+3d=7,
7、所以d=2,bn=1+(n-1)2=2n-1.(2)因为log2a2n+2=log222n+1=2n+1,所以cn=,所以Tn=.因为nN*,所以Tn=0,所以数列Tn是一个递增数列,所以TnT1=.综上所述,Tn.数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.(2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值.(3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.设an是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的正整数n,an与2的等差中项等于S
8、n与2的等比中项.(1)求数列an的通项公式.(2)令bn=(nN*),求证:b1+b2+b3+bn1+n.【解析】(1)由已知=(nN*),整理得Sn=(an+2)2,所以Sn+1=(an+1+2)2.所以an+1=Sn+1-Sn=(an+1+2)2-(an+2)2=(+4an+1-4an),整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0,由题意知an+1+an0,所以an+1-an=4,而a1=2,即数列an是a1=2,d=4的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=4n-2.(2)令cn=bn-1,则cn=-.故b1+b2+bn-n=c1+c2+cn=+=1-1.故b1+b2+bn1
9、+n.考点三数列与函数、不等式的综合应用命题精解读考什么:(1)考查求最值、比较大小、求取值范围等问题.(2)考查数学运算、逻辑推理的核心素养及 函数与方程、转化与化归等思想方法.怎么考:以数列为载体,考查利用函数的性质、图象或不等式的性质进行放缩、比较大小、求范围或最值、证明结论等.新趋势:与函数、不等式综合问题的考查学霸好方法1.求最值(或取值范围)问题的解题思路先构造数列对应的函数y=f(x),x(0,+).再由以下方法求最值:(1)利用函数的单调性(2)利用均值不等式(3)利用导数注意是在正整数内讨论的.2.交汇问题:与函数、不等式交汇时,依据函数或不等式的性质求解.求最值问题【典例】
10、1.在等差数列an中,若a10,Sn为其前n项和且S7=S17,则Sn最小时的n的值为世纪金榜导学号()A.12或13B.11或12C.11D.122.在正项等比数列an中,为a6与a14的等比中项,则a3+3a17的最小值为世纪金榜导学号()A.2B.89C.6D.3【解析】1.选D.由S7=S17,依据二次函数对称性知当n=12时,Sn最小.2.选C.因为an是正项等比数列,且为a6与a14的等比中项,所以a6a14=3=a3a17,则a3+3a17=a3+32=6,当且仅当a3=3时,等号成立,所以a3+3a17的最小值为6.求等差数列前n项和的最值常用的方法有哪些?提示:(1)利用等差
11、数列的单调性,求出最值;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.比较大小【典例】数列an是各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a6=b7,则有世纪金榜导学号()A.a3+a9b4+b10B.a3+a9b4+b10C.a3+a9b4+b10D.a3+a9与b4+b10的大小不确定【解析】选B.因为a3+a92=2=2a6=2b7=b4+b10,当且仅当a3=a9时取等号.本题利用均值不等式比较两个式子的大小,恰到好处.利用均值不等式时一定要满足其成立的三个条件分别是什么?提示:(1
12、)a,b均为正数.(2)a,b的和或积必须有一个为定值.(3)a=b时等号成立.求取值范围问题【典例】设数列an的通项公式为an=2n-1,记数列的前n项和为Tn,若对任意的nN*,不等式4Tna2-a恒成立,则实数a的取值范围为_.世纪金榜导学号【解析】因为an=2n-1,所以=,所以Tn=,又4Tnf(x)恒成立a大于f(x)的最大值;若a0,解得,q=,因为存在两项am,an使得8=a1,所以64qm+n-2=,整理,得m+n=8,所以+=(m+n)=2,当且仅当=时取等号,此时m,nN*,又m+n=8,所以只有当m=6,n=2时,+取得最小值是2.答案:22.已知a1,a2,a3,a4
13、成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,则()A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,a2a4【解析】选B.因为ln xx-1(x0),所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+a3-1,所以a4=a1q3-1.由a11,得q1,所以ln(a1+a2+a3)0,矛盾.因此-1q0,a2-a4=a1q(1-q2)a3,a20,求使得Snan的n的取值范围.【解析】(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由S9=-a5得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10,nN.关闭Word文档返回原板块