1、第三章 导数应用章末检测时间：90分钟满分：100分第卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)x3x2x1在闭区间1,1上的最大值是()A.B.C0 D解析：由f(x)3x22x10，得x1或x，f(1)0，f(1)0，f().答案：A2若f(x)，0abf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1解析：f(x)ln x(1ln x)，在(0，e)上，f(x)0.所以f(x)在(0，e)上是增函数答案：C3已知函数f(x)xln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于()A1
2、 B1C1 D不存在解析：f(x)ln x1，由题意知x0ln x0ln x011，x01或x01(舍)答案：A4函数f(x)x2sin x在0，上的极小值是()A. B0C.2 D1解析：因为f(x)x2sin x，所以f(x)12cos x，令f(x)0，可得cos x，其在0，上仅有一解x，当x时，函数f(x)x2sin x取得极小值f()2.答案：A5设函数f(x)1xsin x在xx0处取得极值，则(1x)(1cos 2x0)1的值为()A1 B0C1 D2解析：f(x0)sin x0x0cos x00，所以x0cos x0sin x0，所以(1x)(1cos 2x0)12cos2x
3、02xcos2x012cos2x02(sin x0)211.答案：C6函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则ab()A5 B3C8 D4解析：令f(x)3x23a0，得x.经分析知f()2，f()6，解得a1，b4，ab5.答案：A7若函数f(x)x2bxc的图像顶点在第四象限，则其导函数f(x)的图像可能是()解析：f(x)x2bxc(x)2.由题意，得又f(x)2xb.由b0)，则yf(x)()A在区间(，1)，(1，e)内均有零点B在区间(，1)，(1，e)内均无零点C在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
4、解析：由题意，得f(x).令f(x)0，得x3；令f(x)0，得0x3；令f(x)0，得x3.故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，)上为增函数，故f(x)在点x3处有极小值1ln 3，且1ln 30.又f(1)，f(e)10.故选择D项答案：D9内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为()A.R B.RC.R D.R解析：作轴截面如图，设圆柱高为2h，则底面半径为，圆柱体体积为V(R2h2)2h2R2h2h3.令V0，得2R26h20，hR.即当2hR时，圆柱体的体积最大答案：A10对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(xa)f(x)0，则必有()Af(x)f(a)
5、Bf(x)f(a)Cf(x)f(a) Df(x)a时，f(x)0；当xa时，f(x)0，所以当xa时，函数f(x)取得最小值，则f(x)f(a)，故选A.答案：A第卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11函数y2x36x211的单调递减区间为_解析：y6x212x，令6x212x0，得0x2.答案：(0,2)12已知函数yx3x2ax5，若函数的单调递减区间是(3,1)，则实数a的值是_解析：由于yx22xa，由函数的单调递减区间是(3,1)知x|f(x)0x|3x0，解得a9.答案：(，0)(9，)14点P是曲线yx2ln x上任意
6、一点，则P到直线yx2的距离的最小值是_解析：设P(x0，y0)，由题意，过点P的曲线的切线与直线yx2平行时，P到直线yx2的距离最小由y2x，得xx0时2x01，解得x0或x01.又x0，x01，则y01.P(1,1)P到直线yx2的距离的最小值为.答案：三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)设定义在(0，)上的函数f(x)axb(a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx，求a，b的值解析：(1)f(x)axb2 bb2，当且仅当ax1(x)时，f(x)的最小值为b2.(2)由题
7、意得：f(1)ab，f(x)af(1)a，由得：a2，b1.16(10分)设函数f(x)x.(1)令N(x)(1x)21ln(1x)，判断并证明N(x)在(1，)上的单调性，求N(0)；(2)求f(x)的定义域上的最小值解析：(1)当x1时，N(x)2x20，所以N(x)在(1，)上是增加的，N(0)0.(2)f(x)的定义域是(1，)，f(x)1，当1x0时，N(x)0，f(x)0时，N(x)0，f(x)0.在(1,0)上，f(x)是减少的，在(0，)上，f(x)是增加的f(x)minf(0)0.17(12分)求证：x0时，12x0时，e2x1，f(x)2(1e2x)0时，f(x)0时，12
8、xe2x0，即12xln 21且x0时，exx22ax1.解析：(1)由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明：设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内是增加的于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.