1、岳阳市一中2021年上期高二第一次质量检测数学试卷时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A.B.C.D.2.命题：“，”的否定为（ ）A.B.C.D.3.椭圆的一个焦点是，那么（ ）A.B.C.D.4.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动.要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ）A.B.C.D.5.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A.B.C.D.与斜交6.函数的大致图象为（ ） AB CD7.某地区经过
2、一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（ ）A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半8.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为
3、正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该二十四等边体的表面积为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列结论正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.对于的展开式，下列说法正确的是（ ）A.展开式共有项B.展开式中的常数项是C.展开式中各项系数之和为D.展开式中的二项式系数之和为11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的左支上，若，则双曲线的离心率可以是（
4、 ）A.B.C.D.12.设函数，则下列选项正确的是（ ）A.为奇函数B.的图象关于点对称C.的最大值为D.的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）.13.已知，其中为虚数单位，则 .14.若函数的最大值为，则常数的一个取值为 .15.已知椭圆，是坐标平面内的两点，且与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则 .16.若函数，若对于，都有，则实数的值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知的内角的对边分别为，
5、，求的面积.18.（12分）在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且，.（）求与；（）证明：.19.（12分）某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过小时收费，超过小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）.现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次.设甲、乙租用不超过两小时的概率分别，租用小时以上且不超过小时的概率分别，两人租用的时间都不超过小时.（1）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望.20.（12分）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，是的两个三等分点，都是圆
6、柱的母线.（1）求证：平面；（2）设，已知直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.21.（12分）如图，已知点为抛物线的焦点，过焦点的动直线与抛物线交于两点，且当直线的倾斜角为时，.（1）求抛物线的方程；（2）试确定在轴上是否存在点，使得直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：.岳阳市一中2021年上期高二第一次质量检测数学答案选择题（1-8为单选题，每题5分；9-12为多选题，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）123456789101112BCBCBCACBCDCDBCDBCD填空题（
7、每题5分）13. 14 （答案不唯一) 15. 16.14.【解析】因为的最大值为，说明和可同时取得最大值，可知，所以可以.17.解析：（1）若选择，由余弦定理，因为，所以由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以.（2）若选择，则，因为，所以，因为，所以；由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以.（3）若选择，则，所以，因为，所以，所以，所以；由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以.18.解析：（）设的公差为，因为所以解得或（舍去），.所以，.（）因为，所以，所以，.19.解析：（1）设事件为“甲，乙租用时间均不超过小时”事件为“甲，乙租用时间均在小时至小时之间”事件为“甲，乙租用时间均在小时至小
8、时之间”故所求事件的概率（2）的取值可以为，（10分）故的分布列为：（12分）20.解析：（1）证明连接，因为是半圆的两个三等分点，所以.又，所以均为等边三角形.所以，所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.因为都是圆柱的母线，所以.又因为平面，平面，所以平面.又平面，且，所以平面平面.又平面，所以平面.（2）连接.因为是圆柱的母线，所以圆柱的底面，所以即为直线与平面所成的角，即.因为为圆的直径，所以.在中，所以，所以在中，.（方法一）因为，又因为，且，所以平面.又平面，所以.在内，作于点，连接.因为，平面，所以平面.又平面，所以.所以就是二面角的平面角.在中，.在中，所以，
9、所以.所以二面角的余弦值为.（方法二）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以设平面的法向量为，则即，所以平面的一个法向量为.又因为平面的一个法向量，所以，所以二面角的余弦值为.21.解析：（1）当直线的倾斜角为，则的斜率为，的方程为，联立，得.设，则，抛物线的方程为.（2）假设满足条件的点存在，设，由（1）知，当直线不与轴垂直时，设的方程为，由,，得，.直线关于轴对称，.，解得，则.当直线与轴垂直时，由抛物线的对称性，易知关于轴对称，此时只需与焦点不重合即可.综上，存在唯一的点，使得直线关于轴对称.22.解析：（1）解：由，得，则.又切点为，曲线在点处的切线方程为，即；（4分）（2）证明：要证，即证，也就是证：.令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.（9分）令，则.当时，单调递增，当时，单调递减.即.