1、20212022学年度第一学期第一次阶段测试高三数学试题（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D.3. 已知，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 若，则（ ） A. B. C. D.5. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D.6. 函数在的图像大致为( ） A B C D7. 已知复数，有下列四个命
2、题：甲: 乙：的虚部为 丙：复数对应的点位于第二象限 丁：如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A 甲 B 乙 C 丙 D 丁8. 已知是定义域为的奇函数，满足若，则( )A 0B1C2D2021二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）9. 下列说法正确的有（ ） ，则： 若，则：，10已知，则（ ） 的最大值为 的最大值为的最小值为5 的最小值为11. 已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 12. 若，则下列等式中成立的是（ ） 三、填空题
3、（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）13. 某学校高三（1）班有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班活动，其中35人参加数学培训班，28人参加物理培训班，31人参加了生物培训班，其中三个培训班都参加的有6人，则有 人只参加了一种培训班。 14. 写出一个同时具有下列性质的函数_。； ；时，恒成立.15. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我没去过A城市；乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断甲去过的城市为_ . 16. 已知奇函数在上是增函数，若，则a，b，c的大小关系为 （用0，b0，且
4、a+b=1，则（ ）ABCD【答案】ABD改编：已知，则（ ） A. 的最大值为 B.的最大值为C.的最小值为5 D.的最小值为【答案】 B C考查：用基本不等式求常见的最大、最小值11.原题：（八省联考第1题）已知、均为实数集的子集，且，则（ ）A. B. C. D.改编：已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】 BD考查：用Venn图表达集合的基本运算。12.原题：（2021新高考一卷第6题）若，则ABCD改编：若，则下列等式中成立的是（ ） 【答案】BCD考查：二倍角公式，同角三角函数关系，和差角公式。三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，
5、共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）13.原题：（新人教版阅读材料：集合中的元素个数）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个 班共有多少名同学参赛？改编：某学校高三（1）班有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班活动，其中35人参加数学培训班，28人参加物理培训班，31人参加了生物培训班，其中三个培训班都参加的有6人，则有 人只参加了一种培训班。 【答案】22考查：集合中的容斥原理。14.原题：（2021新高考二卷第14题）写出一个同时具有下列性质的函数_。；当时，；是奇函数改编：写出一
6、个同时具有下列性质的函数_。；时，恒成立【答案】（答案不唯一）考查：幂函数的性质及数学探究能力15.原题：（2019全国1卷）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_改编：甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我没去过A城市；乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断甲去过的城市为_ 【答案】：B考查：逻辑推理能力。16.原题：2017天津卷 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(l
7、og25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbca改编：已知奇函数在上是增函数，若，则a，b，c的大小关系为 （用连接）【答案】考查：函数性质的研究及其综合应用四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）原题：（必修四教材习题3.1（3）已知且求的值.改编：已知，且，求的值.解答：因为，所以.2分 所以.4分因为所以，又因为，所以，.6分因为，所以.8分所以.10分考查：和差角公式，二倍角公式，三角方程。18.（本小题满分12分）原题：（苏教版P155第15题）设为实数，已
8、知函数是奇函数。（1）求的值；（2）求证：是上的增函数；（3）当时，求函数的取值范围。改编：已知函数是上的奇函数（3） 求的值;（4） 若对一切实数满足，求实数的取值范围.解：（1）（方法1）因为是上的奇函数，所以所以，所以（方法2）因为是上的奇函数，所以即，所以恒成立，所以.4分（2）因为，任取，且则因为，所以，所以即所以是上的增函数。 .7分因为对一切实数满足，即所以有即对一切恒成立。.10分因为，所以，所以.12分考查：初等函数的奇偶性，单调性及其综合应用19.（本小题满分12分）原题：（2022全国高三专题练习）为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后
9、随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；满意不满意合计男生女生合计100（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率参考数据：，其中01000500100050001270638416635787910828改编：为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120
10、名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1：1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；满意不满意合计男生女生合计120（3） 从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率参考数据：，其中01000500100050001270638416635787910828解：（1）22列联表如表所示满意不满意合计男生402060女生303060合计7050120 .3分
11、利用公式可得 .6分 故有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关” .7分 （2）由（1）知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人“男生满意”的人中占人，“女生满意”的人中占人， .8分记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，则 .11分答：恰好抽中2名男生与1名女生的概率 .12分考查：独立性检验，分层抽样，古典概型20.（本小题满分12分）原题：（2021全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值改编：在四棱锥中，底面是正方形，若,平面平面（1）求的长； （2）求二面角的平面角的余弦值解：（1）取的中点为，连接.因
12、为，则，因为平面平面，,所以平面 .2分因为所以而，故.在正方形中，因为，故，故，所以.5分(2)在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故,设平面的法向量，则即，取，则，故.7分而平面的法向量为，则即，取，则，故.9分因为，所以 .11分二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. .12分考查：面面垂直的性质及二面角的计算21.（本小题满分12分）原题：（2020北京卷）已知函数（）求曲线的斜率等于的切线方程；（）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值改编：已知函数，为的导函数，且（2） 求的解析式（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角
13、形的面积为，求的最小值解：（1）因为，所以所以 解得 所以.4分（2）因为,所以在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以， .7分不妨设（时，结果一样）时，则，所以，.10分由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.12分考查：函数解析式、切线方程以及用导数研究常规函数的性质22.（本小题满分12分）原题：【2020山东枣庄期末】已知函数,为的导函数.(1)求证:在上存在唯一零点;(2)求证:有且仅有两个不同的零点.改编：已知且，（3） 求的值（4） 令，求证有且只有两个不同的零点 解：（1）因为函数所以且所以当时恒成立，此时在（0，+）上单调递增，又，不合题意； .2分当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以 .4分（2）因为设，当时，所以在上单调递减，又因为，所以在上有唯一的零点. .5分所以当时，在上单调递增;当时，在上单调递减;所以在上存在唯一的极大值点.6分所以又因为，所以在上恰有一个零点又因为，所以在上也恰有一个零点.8分当时， ，设， 所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点.10分当时，设，所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点综上，有且仅有两个零点.12分考查：不等式的恒成立，函数的单调性、最值、零点以及用导数综合研究复杂函数的能力