1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评十七导数的存在性问题1.已知函数f(x)=ex(a+ln x),其中aR.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=-垂直,求a的值.(2)记f(x)的导函数为g(x).当a(0,ln 2)时,证明:g(x)存在极小值点x0,且f(x0)0,所以g(x)与a+-+ln x同号.设h(x)=a+-+ln x,则h(x)=.所以对任意x(0,+),有h(x)0,故h(x)在(0,+)上单调递增.因为a(0,ln 2),所以h(1)=a+10,h=a+ln
2、0,故存在x0,使得h(x0)=0.g(x)与g(x)在区间上的情况如下:xx0(x0,1)g(x)-0+g(x)极小值所以g(x)在区间上单调递减,在区间(x0,1)上单调递增.所以若a(0,ln 2),存在x0,使得x0是g(x)的极小值点.令h(x0)=0,得到a+ln x0=,所以f(x0)=(a+ln x0)=0,令f(x)=0,得x=,所以当x(0,)时,有f(x)0,则(,+)是函数f(x)的单调递增区间.当x(1,e)时,函数f(x)在(1,)上单调递减,在(,e)上单调递增;又因为f(1)=,f(e)=e2-30,f()=(1-ln 3)0,bR).(1)若存在正数a,使f(
3、x)0恒成立,求实数b的最大值.(2)设a=1,若g(x)=xex-2x-f(x)没有零点,求实数b的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ln x-ax+ab,所以f(x)=-a=-,所以y=f(x)在上单调递增,在上单调递减.所以f(x)max=f=-ln a-1+ab.所以存在正数a,使ab1+ln a成立,即存在正数a,使得b成立.令h(x)=,x(0,+),因为h(x)=-,所以y=h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.所以h(x)max=h(1)=1,所以b1.故b的最大值为1.(2)因为a=1,所以f(x)=ln x-x+b.所以g(x)=xex-x-ln x-
4、b.所以g(x)=(x+1).令x0(0,1),使得=.两边取自然对数,得x0=-ln x0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增.由题设可知,要使函数g(x) 没有零点,则要g(x)min=g(x0)0即可,g(x0)=x0-x0+x0-b=1-b0,所以b0恒成立,又由g(x)=2e2x-aex-a2=,若a=0,则g(x)=e2x0,g(x)无零点,f(x)无好点.若a0,由g(x)=0,得x=ln a.当x(-,ln a)时,g(x)0,所以g(x)在(-,ln a)上单调递减,在上单调递增.所以当x=ln a时,g(x)取最小值g(ln a)=-a2ln a.当且仅当-a2ln a0,即0a0,所以g(x)无零点,f(x)无好点.若a0,由g(x)=0,得x=ln.当x时,g(x)0,所以g(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=ln时,g(x)取最小值g=a2.当且仅当a20,即-2a0,所以g(x)无零点,f(x)无好点.综上,a的取值范围为.关闭Word文档返回原板块
