1、2 导数的概念及其几何意义A组基础巩固1设f(x)为可导函数，且满足 1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是()A1B1C. D2解析： 1， 1，f(1)1.答案：B2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：点(0，b)在直线xy10上，b1.又函数yx2axb在x00处的切线方程是xy10， a1，故选A.答案：A3抛物线yx2在点Q(2,1)处的切线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：点Q(2,1)在抛物线上，由导数的定义可得， (1x)1，yx2在点Q(2,1)处的导数
2、为1.所求的切线方程为y1x2，即xy10.答案：B4已知曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B.C D1解析：令yf(x)ax2，则曲线在点(1，a)处的切线斜率kf(1)，即2kf(1)li 2a, 故a1.答案：A5曲线f(x)x3x2在点P0处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A(1,0) B(1,0)或(1，4)C(2,8) D(2,8)或(1，4)解析：设P0(x0，y0)，3x13x0x(x)2，f(x0) 3x1.所以3x14，x1，x01，当x01时，y00，x01时，y04，所以P0为(1,0)或(1，4)答案：B6如图，函
3、数yf(x)的图像在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.解析：点P为切点，f(5)583，f(5)1，f(5)f(5)312.答案：27曲线yf(x)2xx3在点(1,1)处的切线方程为_解析：f(1) 1，曲线在(1,1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.答案：xy208函数yx2在x_处的导数值等于其函数值解析：设函数yx2在点(x0，y0)处的导数值与其函数值相等，f(x0) 2x0，令y0x，2x0x，解得x00或x02，即在x0或x2处的导数值与其函数值相等答案：0或29已知曲线y上一点P(1,2)，用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角的大小和切线方程解析：yf(1x
4、)f(1)，过点P的切线的斜率k li 1，tan 1，45，即过P点的切线的倾斜角等于45.由点斜式方程得过P点的切线方程为y2x1，即xy10.10已知抛物线y2x21，求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45；(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20；(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30.解析：设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x.当x无限趋近于零时，无限趋于4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan 451，即f(x0)4x01，得x0.该点为(，)(2)抛物线的切线平行于直线4xy20
5、，切线的斜率为4，即f(x0)4x04，得x01.该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x08，得x02.该点为(2,9)B组能力提升1已知函数yf(x)的图像如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB) Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB) D不能确定解析：f(xA)和f(xB)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f(xA)f(xB)答案：B2已知函数f(x)在x1处的导数为1，则 ()A3 BC. D解析：f(1)1， f(1).答案：B3若曲线f(x)x2的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为_解析：
6、设切点为(x0，x)，f(x0) (2x0x)2x0，由题意2x0()1，所以x02，y04.kl4，所以l的方程为y44(x2)，即4xy40.答案：4xy404若抛物线yx2xc上一点P的横坐标是2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为_解析：根据题意可知在点P处切线的斜率为f(2)5.因为点P的横坐标是2，所以点P的纵坐标是6c，故直线OP的斜率为，根据题意有5，解得c4.答案：45已知曲线yx21，问：是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由解析：假设存在实数a满足条件由2xx，得y (2xx)2x.设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率k2x0.由点斜式得切线方程为yy02x0(xx0)又切线过点(1，a)，y0x1，a(x1)2x0(1x0)，即x2x0a10.切线有两条，(2)24(a1)0，解得a2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，实数a的取值范围是(，2)6已知点M(0，1)、F(0,1)，过点M的直线l与曲线yx34x4在x2处的切线平行(1)求直线l的方程；(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程解析：(1)f(2) 0.直线l的斜率为0，故直线方程为y1.(2)抛物线以点F(0,1)为焦点，y1为准线，1，p2，故抛物线方程为x24y.