1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评六十九离散型随机变量的均值与方差(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=()A.B.2C.D.3【解析】选A.E(X)=1+2+3=.2.若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)等于()A.2 B.2或C.D.1【解析】 选C.由题意,+=1,a0,所以a=1,所以E(X)=0+1=. 3.(2019浙江高考)设0a1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取
2、值范围是_.世纪金榜导学号【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题,由此列不等式求解.【解析】X表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布列为:X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995100+(100-a)0.005=100-.若保险公司获益,则期望大于0,解得a20 000,所以a(1 000,20 000).答案:(1 000,20 000)三、解答题(每小题10分,共20分)9.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额
3、.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.【解析】 (1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意,得P(X=60)=.即顾客所获的奖励额为60元的概率为,(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=6
4、0)=,P(X=20)=,即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=200.5+600.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,
5、40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)=20+60+100=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-60)2=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)=40+60+80=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2+(60-60)2+(80-60)2=.由于两种方案的奖励额的期望
6、都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.10.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率.(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X120发电机最多可运行台数123
7、若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?世纪金榜导学号【解析】 (1)依题意,p1=P(40X120)=0.1.由二项分布得,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=0.94+40.930.1=0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台
8、发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)= p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下:Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.安装3台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40X120时,三台发电机运行,此时Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P(
9、X120)=p3=0.1.由此得Y的分布列如下:Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上所述,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台. (20分钟40分)1.(5分)设10x1x2x3D(2).B.D(1)=D(2).C.D(1)D(2).D.D(1)与D(2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关.【解析】选A. 令E(1)=0.2(x1+x2+x3+x4+x5)=t,则E(2)=0.2(+)=t, D(1)=0.2+ =0.2(+)-2(x1+x2+x3+x4+x5)t+
10、5t2; 记=x1,=x2,=x5,同理得D(2)=0.2(x+x+x+x+x)-2(x1+x2+x3+x4+x5)t+5t2,只需比较x+x+x+x+x与+的大小, x+x+x+x+x=+ =2(+)+(2x1x2+2x2x3+2x3x4+2x4x5+2x5x1) 2(+)+(+)+(+)+(+)+(+)+(+)=+,所以D(2)D(2),而迅速攻下此题.2.(5分)为了提高学生学习数学的兴趣,某校决定在每周的同一时间开设数学史生活中的数学数学与哲学数学建模四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习,假设三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能
11、的.设X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数,则X的数学期望E(X)为_.【解析】X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)=0+1+2+3=.答案:【秒杀绝招】甲、乙、丙三人从四门校本课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验,X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数,则XB,所以X的数学期望E(X)=3=.3.(5分)设20是等差数列x1,x2,x3,x19的公差,随机变量等可能地取值x1,x2,x3,x19,则标准差=_.【解析】因为随机变量等可能地取值x1,x2,x3,x19,所以P=,i=
12、1,2,3,19,所以E()=x10,D()=+=+=30d2,所以=d=20.答案:204.(12分)(2020金华模拟)甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动,活动规则:依次闯关过程中,若闯关成功则继续答题;若没通关则被淘汰;每人最多闯3关;闯过第一关得10分,闯过第二关得20分,闯过第三关得30分,一关都没过则没有得分.已知甲每次闯关成功的概率为,乙每次闯关成功的概率为.(1)设乙的得分总数为,求的分布列和数学期望.(2)求甲恰好比乙多30分的概率.世纪金榜导学号【解析】(1)的取值为0,10,30,60.P(=0)=1-=,P(=10)=(1-)=,P(=30)=(1-)=,P(=60
13、)=.则的分布列如表:0103060PE()=0+10+30+60=.(2)设“甲恰好比乙多30分”为事件A,“甲恰好得30分且乙恰好得0分”为事件B1,“甲恰好得60分且乙恰好得30分”为事件B2,则A=B1B2,B1、B2为互斥事件.P(A)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.所以,甲恰好比乙多30分的概率为.5.(13分)贫困户杨老汉是扶贫政策受益人之一.据了解,为了帮助杨老汉早日脱贫,负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为.(1)求帮扶
14、责任人连续四天到杨老汉家走访的概率.(2)设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分布列.(3)杨老汉对三位帮扶人员非常满意,他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访.”请问:他说的是真的吗?世纪金榜导学号【解析】(1)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A.P(A)=,所以帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=+=,P(X=2)=+=;P(X=3)=,随机变量X的分布列为X0123P(3)E(X)=+=,所以E(X)1,所以杨老汉说的是真的.甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重
15、点高校2020年自主招生,高考前自主招生的程序为面试和文化测试,只有面试通过后才能参加文化测试,文化测试合格者即获得自主招生入选资格.因为甲、乙、丙三人各有优势,甲、乙、丙三人面试通过的概率分别为0.5,0.6,0.4 ;面试通过后,甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲、乙、丙三人中只有一人通过面试的概率.(2)求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率.(3)记甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为,求随机变量的分布列及期望.【解析】(1)分别记甲、乙、丙面试通过为事件A1,A2,A3,则甲、乙、丙三人中只有一人通过面试的概率P1=P(A1)+
16、P(A2)+P(A3)=0.50.40.6+0.50.60.6+0.50.40.4=0.38.(2)甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格分别记为事件A,B,C,则P(A)=0.50.6=0.3,P(B)=0.60.5=0.3,P(C)=0.40.75=0.3.(3)甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数取值为0,1,2,3,分别记甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格为事件A,B,C,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3,所以P(=0)=(1-0.3)3=0.343,P(=1)=0.3(1-0.3)2=0.441,P(=2)=0.32(1-0.3)=0.189,P(=3)=0.33=0.027,所以随机变量的分布列为0123P0.3430.4410.1890.027于是E()=00.343+10.441+10.189+30.027=0.9.关闭Word文档返回原板块