1、2015-2016学年江西省宜春市高安中学高二（下）期中数学试卷（理科）（创新班）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1函数f（x）=的定义域为（）A（0，2）B（0，2C（2，+）D2，+）2若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的倾斜角的余弦值为（）ABCD3定积分dx的值为（）ABCD24设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A2BCD25函数f（x）=ax1+3（a0，且a1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny1=0（m0，n0）上，则+的最小值是（）A12B13C24D25
2、6已知函数f（x）=，则fA2016BC2017D7若f（x）=ex+aex为偶函数，则f（x1）的解集为（）A（2，+）B（0，2）C（，2）D（，0）（2，+）8已知函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）f（30.3），b=（log3）f（log3），c=（log3）f（log3），则 a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCcbaDacb9定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意xR都有f（2x）=f（x），且当x0，1时，f（x）=x1，若函数y=f（x）loga（x+1）在（0
3、，+）上至少有三个零点，则a的取值范围为（）A（0，）B（，1）C（0，）D（，1）10设函数f（x）=ex（sinxcosx）（0x2016），则函数f（x）的各极小值之和为（）ABCD11定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x0，2）时，f（x）=，若x4，2）时，f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A2，0）（0，1）B2，0）1，+）C2，1D（，2（0，112如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13如果瓶内的药液恰好156分
4、钟滴完则函数h=f（x）的图象为（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13log2.56.25+lg+ln+=_14函数y=log（x22mx+3）在区间（，1）上是增函数，则实数m的取值范围是_15f（x）=x（xc）2在x=1处有极小值，则实数c=_16设f（x）=x2lnx，由函数乘积的求导法则，（x2lnx）=2xlnx+x，等式两边同时求区间1，e上的定积分，有：移项得：这种求定积分的方法叫做分部积分法，请你仿照上面的方法计算下面的定积分： =_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（
5、x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围18已知函数f（x）=exax1（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由19在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（1，0），其倾斜角为，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为26cos+1=0（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求的取值范围；（2）设M（x
6、，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围20设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数21设函数f（x）=axax（a0且a1）（1）若f（1）0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4x）0恒成立时实数t的取值范围；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a2x2mf（x）在1，+）上的最小值为2，求m的值22已知函数f（x）=x3+x2（xR），g（x）满足g（x）=（aR，x0），且g（e）=a，其中e为自然对数的底数（1）已知h（x）=e1xf（x），求h（x）在（1，h
7、（1）处的切线方程；（2）设函数F（x）=，O为坐标原点，若对于y=F（x）在x1时的图象上的任一点P，在曲线y=F（x）（xR）上总存在一点Q，使得0，且的中点在y轴上，求实数a的取值范围2015-2016学年江西省宜春市高安中学高二（下）期中数学试卷（理科）（创新班）参考答案与试题解析一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1函数f（x）=的定义域为（）A（0，2）B（0，2C（2，+）D2，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】分析可知，解出x即可【解答】解：由题意可得，解得，即x2所求定义域为（2，+）故选：C2若直
8、线l的参数方程为（t为参数），则直线l的倾斜角的余弦值为（）ABCD【考点】椭圆的参数方程【分析】由题意，tan=，即可求得cos=【解答】解：设直线l的倾斜角为，由题意，tan=，cos=故选：B3定积分dx的值为（）ABCD2【考点】定积分【分析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是的四分之一，计算即可【解答】解：y=，（x1）2+y2=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，定积分dx=，故选：A4设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A2BCD2【考点】导数的几何意义【分析】（1）求出已知函数y在
9、点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1k2=1，求出未知数a【解答】解：y=y=x=3y=即切线斜率为切线与直线ax+y+1=0垂直直线ax+y+1=0的斜率为a（a）=1得a=2故选D5函数f（x）=ax1+3（a0，且a1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny1=0（m0，n0）上，则+的最小值是（）A12B13C24D25【考点】基本不等式【分析】函数f（x）=ax1+3（a0，且a1）的图象过一个定点P（1，4），可得m+4n=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：函数f（x）=ax1+3（a0，且a1）的图象过一个定点P（1，4）
10、，点P在直线mx+ny1=0（m0，n0）上，m+4n=1则+=（m+4n）=17+17+42=25，当且仅当m=n=时取等号故选：D6已知函数f（x）=，则fA2016BC2017D【考点】分段函数的应用【分析】利用x0时函数的递推关系式，通过分段函数求解函数值即可【解答】解：函数f（x）=，则f+1=f+2016=f（1）+2017=故选：D7若f（x）=ex+aex为偶函数，则f（x1）的解集为（）A（2，+）B（0，2）C（，2）D（，0）（2，+）【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：f（x）=ex+aex为偶函
11、数，f（x）=ex+aex=f（x）=ex+aex，a=1，f（x）=ex+ex ，在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减，则由f（x1）=e+，1x11，求得0x2，故选：B8已知函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）f（30.3），b=（log3）f（log3），c=（log3）f（log3），则 a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCcbaDacb【考点】函数单调性的性质；导数的运算；不等式比较大小【分析】由函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数
12、，当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立，所以xf（x）为减函数，由此能判断a，b，c的大小关系【解答】解：当x（，0）时不等式f（x）+xf（x）0成立，即：（xf（x）0，xf（x）在 （，0）上是减函数又函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，函数y=f（x）是定义在R上的奇函数xf（x）是定义在R上的偶函数xf（x）在 （0，+）上是增函数又30.31log230=2，2=，（）f（）30.3f（30.3）（log3）f（log3），即（）f（）30.3f（30.3）（log3）f（log3）即：cab故选B9定义域为R的偶函数f（
13、x）满足：对任意xR都有f（2x）=f（x），且当x0，1时，f（x）=x1，若函数y=f（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a的取值范围为（）A（0，）B（，1）C（0，）D（，1）【考点】函数零点的判定定理【分析】由f（2x）=f（x）得出函数的周期，由y=f（x）loga（x+1）=0得到f（x）=loga（x+1），利用函数的周期性和偶函数的性质，分别作出函数y=f（x）和y=loga（x+1）的图象，利用图象确定a的取值范围【解答】解：对任意xR都有f（2x）=f（x）f（x）的周期是2，且当x0，1时，f（x）=x1，x1，0时，f（x）=x1，若函数y=f（x
14、）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点，即f（x）和y=loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点，画出函数图象，如图示：由图象得：1，解得；0a，故选：C10设函数f（x）=ex（sinxcosx）（0x2016），则函数f（x）的各极小值之和为（）ABCD【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极小值f（2k+2）=e2k+2，再利用等比数列的求和公式来求函数f（x）的各极小值之和即可【解答】解：函数f（x）=ex（sinxcosx），f（x）=（ex）（sinxcosx）+ex（sinxcosx）=2exsinx，x（2k+
15、，2k+2）时，f（x）0，x（2k+2，2k+3）时，f（x）0，x（2k+，2k+2）时原函数递减，x（2k+2，2k+3）时，函数f（x）递增，故当x=2k+2时，f（x）取极小值，其极小值为f（2k+2）=e2k+2sin（2k+2）cos（2k+2）=e2k+2（01）=e2k+2，又0x2016，函数f（x）的各极小值之和S=e2e4e6e2012e2014e2016=故选：A11定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x0，2）时，f（x）=，若x4，2）时，f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A2，0）（0，1）B2，0）1，+）C2，1D（，2（0，1【考
16、点】函数的最值及其几何意义【分析】令4x2，则0x+42，由f（x+2）=2f（x），求出f（x）=f（x+4），画出y=f（x）和y=f（x+4）的图象，求出最小值，将x4，2）时，f（x）恒成立，转化为x4，2），f（x）min，解出不等式即可求出实数t的取值范围【解答】解：令4x2，则0x+42，f（x+2）=2f（x），f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=f（x+4），画出y=f（x）和y=f（x+4）的图象，当x=1.5时，f（x+4）取最小值1，由x4，2），f（x）恒成立，则，解得t2或0t1故选：D12如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体开始输液时
17、，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13如果瓶内的药液恰好156分钟滴完则函数h=f（x）的图象为（）ABCD【考点】函数模型的选择与应用【分析】每分钟滴下cm3药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系【解答】解：由题意知，每分钟滴下cm3药液，当4h13时，x=42（13h），即h=13，此时0x144
18、；当1h4时，x=429+22（4h），即，此时144x156函数单调递减，且144x156时，递减速度变快故选：A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13log2.56.25+lg+ln+=【考点】对数的运算性质【分析】将各个对数的真数化为幂的形式，利用对数的幂的运算法则化简对数式【解答】解：原式=故答案为14函数y=log（x22mx+3）在区间（，1）上是增函数，则实数m的取值范围是1，2【考点】对数函数的图象与性质【分析】由题意可知f（x）=x22mx+3在（，1）上是减函数，且f（x）0在（，1）上恒成立列出不等式组解出m的范围【解答】解：令f（
19、x）=x22mx+3，函数在区间（，1）上是增函数，f（x）=x22mx+3在（，1）上是减函数，且f（x）0在（，1）上恒成立1，且f（1）0，即42m0，解得1m2故答案为1，215f（x）=x（xc）2在x=1处有极小值，则实数c=1【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求导数可得f（x）=（xc）（3xc），令其为0，分类讨论可得函数取极小值的情形，比较已知可得c的方程，解之可得【解答】解：展开可得f（x）=x（xc）2=x32cx2+c2x，求导数可得f（x）=3x24cx+c2=（xc）（3xc）令f（x）=（xc）（3xc）=0可得x=c，或x=当c=0时，函数无极值，不合题意，
20、当c0时，可得函数在（，）单调递增，在（，c）单调递减，在（c，+）单调递增，故函数在x=c处取到极小值，故c=1，符合题意当c0时，可得函数在（，c）单调递增，在（c，）单调递减，在（，+）单调递增，故函数在x=处取到极小值，故c=3，矛盾故答案为：116设f（x）=x2lnx，由函数乘积的求导法则，（x2lnx）=2xlnx+x，等式两边同时求区间1，e上的定积分，有：移项得：这种求定积分的方法叫做分部积分法，请你仿照上面的方法计算下面的定积分： =1【考点】定积分【分析】由分部积分法即可求出【解答】解： =xlnx|xd（lnx）=xlnx|dx=ex|=e（e1）=1，故答案为：1三、
21、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】（1）利用|x1|+2|5，转化为7|x1|3，然后求解不等式即可（2）利用条件说明y|y=f（x）y|y=g（x），通过函数的最值，列出不等式求解即可【解答】解：（1）由|x1|+2|5，得5|x1|+257|x1|3，得不等式的解为2x4（2）因为任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g
22、（x2）成立，所以y|y=f（x）y|y=g（x），又f（x）=|2xa|+|2x+3|（2xa）（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x1|+22，所以|a+3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a1或a518已知函数f（x）=exax1（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求出函数的导数，再讨论若a0，若a0的情况，从而求出单调区间；（2）由f（x）=exa0在（2，3）上恒成立从而aex在x（2，3）上恒成立，从而f（x）在（2，3）上为减函数
23、，得ae3故存在实数ae3，使f（x）在（2，3）上单调递减【解答】解f（x）=exa，（1）若a0，则f（x）=exa0，即f（x）在R上递增，若a0，exa0，exa，xln a因此f（x）的递增区间是lna，+）（2）由f（x）=exa0在（2，3）上恒成立aex在x（2，3）上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3当a=e3时f（x）=exe3在x（2，3）上，f（x）0，即f（x）在（2，3）上为减函数，ae3故存在实数ae3，使f（x）在（2，3）上单调递减19在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（1，0），其倾斜角为，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相
24、同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为26cos+1=0（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）求出曲线C的直角坐标方程为x2+y26x+1=0，将直线l的参数方程代入x2y26x1=0，得t28tcos+8=0，再利用根的判别式能求出的取值范围（2）曲线C的参数方程为，（为参数），由此利用三角函数性质能求出x+y的取值范围【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为26cos+1=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y26x+1=0，直线l经过点P（1，0），其倾
25、斜角为，直线l的参数方程为，（t为参数），将，代入x2y26x1=0，整理，得t28tcos+8=0，直线l与曲线C有公共点，=64cos2320，即cos，或cos，0，），的取值范围是0，）（2）曲线C的直角坐标方程x2+y26x+1=0可化为（x3）2+y2=8，其参数方程为，（为参数），M（x，y）为曲线C上任意一点，x+y=3+2cos+2=3+4sin（），x+y的取值范围是1，720设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（）求出导数，令它大于0，得到增区
26、间，令小于0，得到减区间，从而求出极小值；（）求出g（x）的表达式，令它为0，则有m=x3+x设h（x）=x3+x，其定义域为（0，+）则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数，求出单调区间得到最值，画出h（x）的图象，由图象即可得到零点个数【解答】解：（）当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+）f（x）=令f（x）=0，x=ef（x）0，则0xe；f（x）0，则xe故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2（）g（x）=f（x）=，其定义域为（0，+）令g（x）=0，得m=x3+x设h（x）=x3+x，其定义域为（0，+）则g（x）的零点个数为h（x）与y=m
27、的交点个数h（x）=x2+1=（x+1）（x1）x（0，1）1（1，+）h（x）+0h（x）递增极大值递减故当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=作出h（x）的图象，由图象可得，当m时，g（x）无零点； 当m=或m0时，g（x）有且仅有1个零点； 当0m时，g（x）有两个零点21设函数f（x）=axax（a0且a1）（1）若f（1）0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4x）0恒成立时实数t的取值范围；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a2x2mf（x）在1，+）上的最小值为2，求m的值【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义
28、【分析】本题（1）利用条件f（1）0，得到0a1f（x）在R上单调递减，从而将f（x2+tx）f（x4）转化为x2+txx4，研究二次函数得到本题结论；（2）令t=f（x）=2x2x，得到二次函数h（t）=t22mt+2在区间，+）上的最小值，分类讨论研究得到m=2，得到本题结论【解答】解：（1）f（x）=axax=f（x），f（x）是定义域为R的奇函数，f（x）=axax（a0且a1），且f（1）0，又a0，且a1，0a1ax单调递减，ax单调递增，f（x）在R上单调递减不等式f（x2+tx）+f（4x）0化为：f（x2+tx）f（x4），x2+txx4，即x2+（t1）x+40恒成立，=（
29、t1）2160，解得：3t5（2）f（1）=，即2a23a2=0a=（舍去）或a=2，a=2，g（x）=22x+22x2m（2x2x）=（2x2x）22m（2x2x）+2令t=f（x）=2x2x，由（1）可知t=f（x）=2x2x为增函数，x1，tf（1）=，令h（t）=t22mt+2=（tm）2+2m2（t），若m，当t=m时，h（t）min=2m2=2，m=2若m，当t=时，h（t）min=3m=2，解得m=，舍去综上可知m=222已知函数f（x）=x3+x2（xR），g（x）满足g（x）=（aR，x0），且g（e）=a，其中e为自然对数的底数（1）已知h（x）=e1xf（x），求h（x）
30、在（1，h（1）处的切线方程；（2）设函数F（x）=，O为坐标原点，若对于y=F（x）在x1时的图象上的任一点P，在曲线y=F（x）（xR）上总存在一点Q，使得0，且的中点在y轴上，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出h（x）的导数，得到h（1），h（1）的值，从而求出切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，得到c=0，得到=t2at2（t1）ln（t）0，所以a（1t）ln（t）1，通过讨论t的范围，从而求出a的范围即可【解答】解：（1）h（x）=（x3+x2）e1x，h（x）=（x34x2+2x）e1x，h（1）=0，h（1）
31、=1，h（x）在（1，h（1）处的切线方程为：y=（x1），即y=x+1；（2）g（x）=（x0），g（x）=alnx+c，g（e）=alne+c=a+c=a，得：c=0，从而g（x）=alnx，设P（t，F（t）为y=F（x）在x1时的图象上的任意一点，则t1，PQ的中点在y轴上，Q的坐标为（t，F（t），t1，t1，所以P（t，t3+t2），O（t，aln（t），=t2at2（t1）ln（t），由于0，所以a（1t）ln（t）1，当t=1时，a（1t）ln（t）1恒成立，aR；当t1时，a，令（t）=，（t1），则（t）=，t1，t10，tln（t）0，（t）0，从而（t）在（，1）上为增函数，由于t时，（t）0，（t）0，a02016年10月3日
