1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评五十三曲线与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,点P是动点,且直线AP与BP的斜率之积为-,则点P的轨迹方程为()A.3x2+y2=4B.3x2+y2=1C.x2+3y2=4D.x2+3y2=1 【解析】选C.设P(x,y),由题可得,B(1,-1).因为直线AP与BP的斜率之积为-,所以kAPkBP=-,化简得x2+3y2=4.2.设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点
2、,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为()A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2【解析】选D.如图,设P(x,y),圆心为M(1,0),连接MA,则MAPA,且|MA|=1.又因为|PA|=1,所以|PM|=,即|PM|2=2,所以P点的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.3.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且=1,则点P的轨迹方程是()A.x2+3y2=1(x0,y0)B.x2-3y2=1(x0,y0)C.3x2-y2=1(x0,y0)D.3x2+
3、y2=1(x0,y0)【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a0,b0,由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),所以即a=x0,b=3y0;由题意得点Q(-x,y),故由=1得(-x,y)(-a,b)=1即ax+by=1;将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).4.在ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.如表给出了一些条件及方程:条件方程ABC周长为10C1:y2=25ABC面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90C3:+=1(y0)则满足条件,的轨迹方程依次为()A
4、.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2【解析】选A.ABC的周长为10,即|AB|+|AC|+|BC|=10,又|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6|BC|,此时动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;ABC的面积为10,所以|BC|y|=10即|y|=5与C1对应;因为A=90,所以=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0与C2对应.5.给出下列说法:方程x2+y2-2x+4y+6=0表示一个圆;若mn0,则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆;已知点M(-1,0)、N(1,0),若|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹是双曲线的右
5、支;以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.根据题意,依次分析4个说法:对于,方程x2+y2-2x+4y+6=0变形可得(x-1)2+(y+2)2=-1,不是圆的方程,错误;对于,方程mx2+ny2=1变形可得+=1,若mn0,则有0,则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆;正确;对于,点M(-1,0)、N(1,0),则|MN|=2,若|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹是一条射线;错误;对于,由抛物线的定义,以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切,正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.动圆M经过
6、双曲线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是_.【解析】双曲线x2-=1的左焦点F(-2,0),动圆M经过点F且与直线x=2相切,则圆心M到点F的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y2=-8x.答案:y2=-8x7.已知点P是曲线C:+y2=1上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,点M满足=-,则点M的轨迹方程为_;该轨迹表示的曲线为_.【解析】设P(m,n),M(x,y),则Q(m,0),=(0,-n),=(x-m,y-n),因为=-,所以(0,-n)=-(x-m,y-n),即即 因为点P在曲线C上,所以+n2=1,将代入得,+=1,即
7、点M的轨迹方程为x2+y2=4,表示圆.答案: x2+y2=4圆8.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是_.【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y0).答案:+=1(y0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a=(
8、mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,动点M(x,y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状.(2)当m=时,轨迹E与直线y=x-1交于A、B两点,求弦AB的长.世纪金榜导学号【解析】(1)因为a=(mx,y+1),b=(x,y-1),且ab,所以ab=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.当m=0时,方程表示两条直线,方程为y=1;当m=1时,方程表示的是圆x2+y2=1;当m0且m1时,方程表示的是椭圆;当m0得k2,所以0x,所以顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0.5.(13分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足
9、为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;世纪金榜导学号(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由= ,得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1,得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0
10、.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.方程|y|-1=所表示的曲线的长度是世纪金榜导学号()A.6B.2C.2+4D.6+12【解析】选B.方程|y|-1=,可得|y|-10,即有y1或y-1,即有(x-2)2+(|y|-1)2=3,作出方程|y|-1=所表示的曲线,如图可得曲线为两个半圆,半径均为,可得表示曲线的长度为2.2.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.M的轨迹方程为_,当|OP|=|OM|时l的方程为_.世纪金榜导学号【解析】圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则 =(x,y-4),=(2-x,2-y).由题意知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.答案:(x-1)2+(y-3)2=2y=-x+关闭Word文档返回原板块