1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评三十四数列的概念与简单表示法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知数列an的通项公式an=2n-4,nN*,若它的第k项满足2ak5,则k=()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.数列an的第k项满足2ak5,即22k-45,解得3k4.5.因为kN*,所以k=4.2.若数列an的前n项和Sn满足Sn=4-an(nN*),则a5=()A.16 B.C.8D.【解析】选D.当n=1时,a1=S1=4-a1,所以a1=2;当n2时,an=S
2、n-Sn-1=an-1-an,所以an=an-1,所以数列an是以2为首项,以为公比的等比数列,所以a5=2=.3.已知数列,则5是它的()A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项【解析】选C.数列,中的各项可变形为,所以通项公式为an=,令=5,得n=21.4.已知数列an的通项公式为an=(nN*).则下列说法正确的是()A.这个数列的第10项为B.是该数列中的项C.数列中的各项都在区间内D.数列an是单调递减数列【解析】选C.an=.令n=10,得a10=,故选项A不正确;令=,得9n=300,此方程无正整数解,故不是该数列中的项,故选项B不正确;因为an=1-,又nN*,所以数
3、列an是单调递增数列,所以an1,所以数列中的各项都在区间内,故选项C正确,选项D不正确.【变式备选】 在数列an中,a1=3,an+1=an+,则通项公式an=_.【解析】原递推公式可化为an+1-an=-,所以a2-a1=-,a3-a2=-,an-an-1=-,逐项相加得an-a1=1-+-+-=1-,所以an=4-(n2),经检验n=1也满足,故an=4-.答案:4-5.在各项均为正数的数列an中,对任意m,nN*,都有=aman.若a6=64,则a9等于()A.256B.510C.512D.1 024【解析】选C.在各项均为正数的数列an中,对任意m,nN*,都有=aman.所以a6=
4、a3a3=64,a3=8.所以a9=a6a3=648=512.6.在数列an中,a1=1,an+1-an=sin,记Sn为数列an的前n项和,则S2 021=()A.0B.2 020C.1 011D.2 021【解析】选C.由a1=1及an+1-an=sin,得an+1=an+sin,所以a2=a1+sin =1,a3=a2+sin=0,a4=a3+sin=0,a5=a4+sin=1,a6=a5+sin=1,a7=a6+sin=0,a8=a7+sin=0,可见数列an为周期数列,周期T=4,所以S2 021=505(a1+a2+a3+a4)+a1=1 011.7.设曲线f(x)=xn+1(nN
5、*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x2x3x4x2 019等于世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选B.由f(x)=xn+1得f(x)=(n+1)xn,切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0得xn=,故x1x2x3x4x2 019=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n3,nN*),此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此数列被3整除
6、后的余数构成一个新数列bn,则b2 021=_.【解析】由题意得,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,构成以8为周期的周期数列,所以b2 021=b5=2.答案:2【变式备选】 将数列an中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:a1a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10记数阵中的第1列数a1,a2,a4,构成的数列为bn,Sn为数列bn的前n项和.若Sn=2bn-1,则a56=_.【解析】当n2时,因为Sn=2bn-
7、1,所以Sn-1=2bn-1-1,所以bn=2bn-2bn-1,所以bn=2bn-1(n2且nN*),因为b1=2b1-1,所以b1=1,所以数列bn是首项为1,公比为2的等比数列,所以bn=2n-1.设a1,a2,a4,a7,a11,的下标1,2,4,7,11,构成数列cn,则c2-c1=1,c3-c2=2,c4-c3=3,c5-c4=4,cn-cn-1=n-1,累加得,cn-c1=1+2+3+4+(n-1),所以cn=+1,由cn=+1=56,得n=11,所以a56=b11=210=1 024.答案:1 0249.(2020宁波模拟)已知数列an的前n项和Sn=n2+2n-1(nN*),则
8、a1=_;数列an的通项公式an=_.【解析】因为Sn=n2+2n-1,当n=1时,a1=1+2-1=2,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-(n-1)2+2(n-1)-1=2n+1,因为当n=1时,a1=2+1=32,所以an=答案:210.(2020金华模拟)已知数列an的通项公式为an=-n2+12n-32,其前n项和为Sn,则对任意m,nN*(m8时,数列中的项均为负数.在m10B.当b=时,a1010C.当b=-2时,a1010D.当b=-4时,a1010【解析】选A.由an+1=+b得,an+1-an=+b-an=(an-)2+(b-),当b=时,an+1-an=(an
9、-)2+0,数列an是递增数列,a2=+,a3=+()2+=,a4=+()2+=1,a5=+12+=,a6=+()2+=,a7=+()2+=8,a8=+82+10,所以a10a9a810.3.(5分)已知数列an满足an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n,Sn为数列an的前n项和,则S2 023=_.【解析】因为an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n,所以a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,所以an+6=an(nN*).则S2 023=S3376+1=337(a1+a2+a6)+a1=3370+m=m.答案:m【变式备选】 已知数
10、列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n2,nN*),a1=,则通项公式为_.【解析】因为当n2,nN*时,an=Sn-Sn-1,所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,-=2,所以是公差为2的等差数列.因为S1=a1=,所以=2,所以=2+(n-1)2=2n,即Sn=.当n2时,an=Sn-Sn-1=-=.当n=1时,a1=,不满足上式,所以数列an的通项公式为an=答案:an=4.(12分)若a1=1,an+1=,求数列an的通项公式.世纪金榜导学号【解析】因为an+1=,a1=1,所以an0,所以=+,即-=.又a1=1,则=1,所以是以1为首项,为公差的等差数列,所以=+(
11、n-1)=+.所以an=(nN*).5.(13分)(2020金华模拟)已知数列an中,a1=4,an,an+1=an-+,记Tn=+.(1)证明:an2.世纪金榜导学号(2)证明:1.(3)证明:-Tn,所以t,所以m(t)=-2t-6t2m=1-=0,即an时,0恒成立,所以an+1-2与an-2同号,又a1-2=20.所以an2成立.(2)=1-+=4+4+=1,又=4+,所以1.(3)先证Tn2,所以,所以Tn=+-,因为an+1=an-+,所以=+,又=1-+=4+,所以16an+115an,所以an(an+an+1),又an+1-an=(-),所以Tn=+(-)+(4-16)+=-,故-Tn0),求导得f(x)=-+1.令f(x)0,解得x;令f(x)0,解得0x.所以f(x)=+x-1在(,+)上是递增的,在(0,)上是递减的.因为nN*,所以当n=5或n=6时,f(n)取得最小值.又因为=,=,所以的最小值为.答案:关闭Word文档返回原板块
