1、宁夏青铜峡市高级中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 容量为100某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，若前7组频率之和为0.79，则剩下3组的频率之和为（ ）A. 0.21%B. 0.21C. 21D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】样本频率和为1【详解】样本频率和为1，则剩下3组的频率之和为0.21故选：B2. 若某公司从三位大学毕业生甲、乙、丙中录用二人，这三人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用列举法列出三人中两人被录取的所有可能，再
2、求出甲被录用的情况，从而利用古典概型的概率公式可求得结果【详解】解：由于甲、乙、丙三人被录用的机会均等，所以甲、乙、丙中录用二人的所有情况有：甲乙，甲丙，乙丙，共3种情况，其中甲被录用有甲乙，甲丙，共两种情况，所以所求概率为，故选：A3. 若变量x，y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点（ ）x1245y76910A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，则答案可求.【详解】由表格中的数据可得：，.则样本点的中心的坐标为.即回归直线必过定点.故选：B.【点睛】本题主要考查了回归直线的性质，必过样本中心点，属于基础题.4. 圆心为
3、且与直线相切的圆的方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设圆方程，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故圆的方程为，故选C.5. 设椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,A是C上任意一点,则三角形AF1F2的周长为( )A. 9B. 13C. 15D. 18【答案】D【解析】【分析】由椭圆的方程求出的值, 计算的值，而的周长，利用椭圆的定义可得结果.【详解】由椭圆C:知, ，则的周长为，故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与简单性质，意在考查对基本概念与基本性质掌握的熟练程度，属于简单题.6. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程是（ ）A. B. C.
4、或D. 或【答案】D【解析】试题分析：设抛物线，代入点，解得，则抛物线方程为；设抛物线为，代入点，解得，则抛物线方程为；故D为正确答案考点：1、抛物线方程的求法；2、分类讨论的思想7. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，即可求出渐近线方程【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是故选：B8. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据循环系统，计算结果.【详解】当时进入循环，再进入循环，再进入循环，此时否，此时输出的值是.故选：C9. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C
5、【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，根据抛物线的方程直接写出其准线方程.【详解】抛物线的标准方程为所以，准线方程为.故选：C10. 过椭圆=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,则这条弦所在直线的斜率等于()A. -2B. C. -D. 2【答案】C【解析】【分析】设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合为的中点，即可求出直线的斜率【详解】设直线与椭圆的交点为为的中点，又两点在椭圆上，则，两式相减可得即故选【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，当遇到中点时可以采用点差法求得结果，注意方法的运用11. （2016新课标全国理科）已知F1，F2是双曲线E：
6、的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为A. B. C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.12. （2017新课标全国卷文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB=120，则m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】当时
7、，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 双曲线的焦点坐标是_【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程求，直接求焦点坐标.【详解】由条件可知，则，则，并且焦点在轴，所以双曲线的焦点坐标是.故答案为：14. 一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬
8、来爬去，它最后停留在黑色地板砖上的概率是_【答案】【解析】【分析】利用几何概型求概率.【详解】小蚂蚁在地板砖的任何一个地方都是等可能的，所以可以看成几何概型，共有9块，黑色的有4块，所以它最后停留在黑色地板砖上的概率.故答案为：15. 某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较极端的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；丙同学说：“茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加”丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”.以上四人中，观点正确的同学
9、是_.【答案】乙丙【解析】【分析】根据统计知识，判断四位同学的观点是否正确.【详解】甲同学观点不正确，“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1”；乙同学的观点正确，满足简单随机抽样和分层抽样的特点；丙同学的观点正确，满足茎叶图的特点；丁同学的观点不正确，“标准差越大，数据的离散程度越大”.故答案为：乙丙16. 已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于A,B两点，交准线于点C，若|BC|=2|BF|，则|AB|=_.【答案】【解析】【分析】分别过作准线的垂线，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离，利用已知和相似三角形的相似比，建立关系式，求解可算得弦长.【详
10、解】设，可知如图，作,垂直于准线分别于，则，又，解得故答案为：【点睛】1.本题体现了数形结合，解析几何问题，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算2. 抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知点点在圆上运动，点为线段的中点.（1）求点的轨迹方程；（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值3，最小值1.【解析】【分析】（1）根据题中条件，得到，代入已知圆的方程，化简整理，即可得出结果；（2）先由（1）得到圆心和半径，求出圆心到直线的距离，根据圆的性质，即
11、可求出结果.【详解】（1）因为点是的中点，即又，即.所以点的轨迹方程为.（2）由（1）知点的轨迹是以为圆心，半径的圆.圆心到直线的距离.根据圆的性质，可得点到直线的距离的最大值为，最小值为.【点睛】方法点睛：求解圆上一动点到定直线（直线与圆相离）距离的最值问题的常用方法：（1）几何法：先由点到直线距离公式，求出圆心到定直线的距离，再由圆的性质，即可得出结果；（2）参数法：先根据圆的参数方程设圆上任意一点的坐标，再由点到直线距离公式，直接得出圆上任意一点到直线的距离，结合三角函数的性质，即可求出结果.18. 近年来，国家大力实施精准扶贫战略，据统计2014年至2018年，某社区脱贫家庭(单位：户
12、)的数据如下表：年份20142015201620172018年份代号x12345脱贫家庭户数y2030506075部分数据经计算得：，.（1）求y关于x线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数的变化情况，并预测该社区在2020年脱贫家庭户数.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，【答案】（1）；（2）2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数逐年增加，平均每年增加14户，预测该社区2020年的脱贫家庭为103户.【解析】【分析】（1）计算出、，代入公式可得、，即可得解；（2）由线性回归方程的意义，代入即可得解.【详解】（1）由题意得
13、，所以，所以回归直线方程为；（2）由（1）知，故2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数逐年增加，平均每年增加14户，令，代入回归方程得，故预测该社区2020年的脱贫家庭为103户.19. 已知离心率的椭圆：的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由离心率求出，再求出，可得椭圆方程；（2）设直线的方程为，点，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，然后代入弦长公式可求得参数值得直线方程【详解】（1）由题意知，椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，点，联立方程组，化简，得.由已知得，即，且，.，解得
14、，符合题意，直线的方程为或.【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入弦长公式求解20. 日前，北京传媒蓝皮书：北京新闻出版广电发展报告（20162017）公布，其中提到，2015年9月至2016年9月，北京市年度综合阅读率较上年增长1%，且数字媒体阅读率首次超过了纸质图书阅读率为了调查某校450名高一学生（其中女生210名）对这两种阅读方式的时间分配情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了15名学生进行调查，得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间，数据如下（单位
15、：小时）：学生编号123456789101112131415数字阅读时间235830604151645355675125334547纸质阅读时间28663653456248474252521304242（1）求被调查的15名学生中男生的人数；（2）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写出两个统计结论；（3）平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率.【答案】（1）8；（2）答案见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的原理计算可得答案；（2）由已知数据得出被调查的15名
16、学生分别采用两种阅读方式的平均每周阅读时间茎叶图，由表中的数据可得统计结论；（3）由表中数据可知平均每周纸质阅读时间超过数字阅读时间的学生的编号分别是1，2，3，5，6，其中数字阅读时间不超过40小时的学生的编号是1，3.运用列举法所有的基本事件，再由古典概率公式可得答案【详解】（1）（名）.所以被调查的15名学生中共有8名男生.（2）被调查的15名学生分别采用两种阅读方式的平均每周阅读时间茎叶图如下：通过观察比较分析可知，平均每周的数字阅读时间比纸质阅读时间长，纸质阅读时间数据更集中；（3）由表中数据可知平均每周纸质阅读时间超过数字阅读时间的学生的编号分别是1，2，3，5，6，其中数字阅读时
17、间不超过40小时的学生的编号是1，3.从这5名学生中，随机抽取两名学生，所有可能的抽取结果为，共10个基本事件，设“从这5名学生中随机抽取两名学生，这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时”为事件A，共有7个基本事件，分别为，则.【点睛】方法点睛：在解决概率统计的应用问题时，注意理解问题的情景，将生活中的数据转化成数学统计中的数据，再运用相应的统计知识解决21. 已知抛物线过点.（1）求抛物线的方程；（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合).求直线AM与直线AN的斜率之积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代入点的坐标即可求出；（2）设出直线方程，与抛
18、物线方程联立，用韦达定理得出坐标的关系，表示出，再用关系式代入化简求值.【详解】（1）因为抛物线过点，所以，抛物线方程为.（2）设，直线的方程为，联立，整理得，则【点睛】(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用离心率可
19、得，进而得到；将点代入椭圆方程可求得，从而得到椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，可求得坐标，从而得到，得到；当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切可得到；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出，整理可得，得到；综合两种情况可得到结论.【详解】（1）由题意得：，即 椭圆方程为将代入椭圆方程得： 椭圆的方程为：（2）当直线斜率不存在时，方程为：或当时，此时 当时，同理可得当直线斜率存在时，设方程为：，即直线与圆相切 ，即联立得：设， ，代入整理可得： 综上所述：为定值【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.