1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.5向量的应用学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学建模和数学运算核心素养.向量的应用(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2)向量在物理中的应用速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积(3)向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是
2、作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质1思考辨析(1)若ABC是直角三角形，则有0.()(2)若，则直线AB与CD平行()(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多()解析(1)可能0或0，故错误(2)，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误(3)WFs|F|s|cos ，故错误答案(1)(2)(3)2已知ACB，a，b，且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形 D不能确定答案A3已知F(2,3)作用一
3、物体，使物体从A(2,0)移动到B(4,0)，则力F对物体作的功为_答案4向量在物理中的应用【例1】如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小思路点拨：解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则解如图，作平行四边形OACB，使AOC30，BOC60.在OAC中，ACOBOC60，OAC90.|cos 30300150(N)，|sin 30300150(N)故与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150
4、N.1解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成2解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型1已知两恒力F1(3,4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功解(1)(13，15)，W1F1(3,4)(13，15)3(13)4(15)99(J)，W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(J)力F1，F2对质点所做的功分别为99 J和3 J.(2)WF(F1F2)(
5、3,4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102(J)合力F对质点所做的功为102 J.向量在平面几何中的应用【例2】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.思路点拨：法一：选取基底，并证明0.法二：建立平面直角坐标系证明0.解法一：设a，b，则|a|b|，ab0，又a，b，所以a2ab|a|2|b|20，故，即AFDE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220，所以，即AFDE.用向量法证
6、明平面几何问题的方法，有两种常见思路：(1)向量的线性运算法：(2)向量的坐标运算法：但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用2已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)(1,2)，(2，1)(1)(2)2(1)0，即BECF.(2)设点P坐标为(x，y)，则(x，y1)，(2,1)，x2(y1)，即x2y2，同理，由，得y2x4，由得点P的坐标为.|2|，即APAB.平面向量在解析
7、几何中的应用探究问题1如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a(1，k)平行的直线l的方程？提示：设直线l上任意一点P(x，y)，则(xx0，yy0)由题意可知a，yy0k(xx0)2如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a(1，k)垂直的直线l的方程？提示：设直线l上任意一点P(x，y)，则(xx0，yy0)由题意可知a，(xx0)k(yy0)0.已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程思路点拨：(1)先求出D，E，F的坐标，再借助共线知识求方
8、程，(2)借助数量积求解解(1)由已知得点D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则.(x1，y1)，(2，2)，(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点N(x0，y0)是CH所在直线上任意一点，则，0.又(x06，y02)，(4,4)，4(x06)4(y02)0，即xy40为所求直线CH的方程1(变结论)本例条件不变，证明ABC为直角三角形证明由本例解知(4,4)，(6,6)，4(6)460，ABC为直角三角形2(变结论)本例条件不变，求过C与平行的直线方程解设所求直线上
9、任一点为P(x，y)则(x6，y2)，(4,4)，由，得4(x6)4(y2)0，即xy80.利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.教师独具1本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用2要掌握平面向量的应用(1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题；(2)利用平面向量解决平面几何中的长度问题；(3)平面向量在物理中的应用.1力F(1，5)作用于质点m，使m产生的位移s(4,6)，则力F对质点m做的功是()A34B26C34D26CWFs(1
10、，5)(4,6)34，力F对m所做的功是34.2在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2,2)若ABO90，则实数t的取值为_5(3,2t)，由题意知0，所以232(2t)0，解得t5.3在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3,1)，(2，k)，则实数k_.4如图所示，由于(3,1)，(2，k)，所以(1，k1)在矩形中，由得0，所以(3,1)(1，k1)0，即311(k1)0，解得k4.4如图，已知AB是O的直径，点P是O上任一点(不与A，B重合)，求证：APB90.(用向量方法证明)证明连结OP，设向量a，b，则a且ab，ab，b2a2|b|2|a|20，即APB90.- 8 - 版权所有高考资源网
