1、第2课时正弦、余弦的图象与性质学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点、难点)2掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小(重点)3会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间(重点、易错点)通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.正弦函数、余弦函数的图象与性质函数正弦函数ysin x，xR余弦函数ycos x，xR图象定义域RR值域1,11,1最值当x2k(kZ)时，取得最大值1；当x2k(kZ)时，取得最小值1当x2k(kZ)时，取得最大值1；当x2k(kZ)时
2、，取得最小值1周期性周期函数，T2周期函数，T2奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y轴对称单调性在(kZ)上是增函数；在2k，2k(kZ)上是减函数在2k，2k(kZ)上是增函数；在2k，(2k1)(kZ)上是减函数对称性关于xk(kZ)成轴对称，关于(k，0)(kZ)成中心对称关于xk(kZ)成轴对称，关于k，0(kZ)成中心对称1思考辨析(1)ysin是奇函数()(2)函数y3sin 2x是周期为的奇函数()(3)ysin x在上单调递减()(4)ycos x的值域为(1,1)()解析(1).ysincos x，是偶函数(2).T.f(x)3sin(2x)3sin 2x，故为奇
3、函数(3).ysin x在上单调递增(4).ycos x的值域为1,1答案(1)(2)(3)(4)2函数ysin x1的值域是_由sin x1,1，得sin x，所以sin x1.3函数ysin(2x)的对称中心是_，kZysin(2x)sin 2x，由2xk得x(kZ)，ysin(2x)的对称中心为，kZ.求三角函数的单调区间【例1】求下列函数的单调递增区间(1)y2cos；(2)ylogsin.思路点拨：(1)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解(2)先由sin0，得到相应x的取值范围，然后借助于复合函数的单调性分析解(1)因为y2cos2cos，
4、由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以y2cos的单调递增区间为(kZ)(2)由sin0得2kx2k(kZ)，要求原函数的单调递增区间，只需求函数ysin的单调递减区间，令2kx2k(kZ)得2kx2k(kZ)，由可知2kx0，0)的单调区间的一般步骤：(1)当0时，把“x”看成一个整体，由2k解出x的范围，即为函数递增区间；由解出x的范围，即为函数递减区间.(2)当0，0)的单调性讨论同上.提醒：要注意kZ这一条件不能省略.1.求函数y2sin，x，0的单调减区间解当2k2x2k时，函数单调递减，解得：kxk.x，0，取k1，此时x，即x.故函数y2sin，x，0的单调减区间为.比较
5、三角函数值的大小【例2】用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin 194与cos 160；(2)cos ，sin ，cos ；(3)sin与sin.思路点拨：先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小解(1)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(9070)sin 70.0147090，函数ysin x在区间(0，90)内是增函数，sin 14sin 70，sin 194cos 160.(2)sin cos，cos cos，0coscos ，即cos sin cos .(3)cos cossin .0，函数ys
6、in x在内是增函数，sin sin ，cos sin .而0cos sin 1，函数ysin x在(0,1)内是增函数，sinsin.比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.2比较下列各组数值的大小：(1)sin 2与cos 1；(2)sin与sin.解(1)因为cos 1sin，sin 2sin(2)，又012且ysin x在上是递增的，从而sinsin(2)，即cos 1sin 2.(2)sinsinsin，sinsinsin ，ysin x在
7、上是增函数，sinsin ，即sinsin .与三角函数有关的值域问题探究问题1如何求函数ysin x，x上的值域？提示：借助函数ysin x在上的单调性求解因为x时，ysin x是单调递增函数，所以sinsin xsin，即sin x，其值域为.2如何求形如yasin xb(a，b0)的值域？提示：令tsin x，则t1,1，从而转化为yatb，t1,1型的值域问题3如何求形如yasin2xbsin xc的值域？提示：令sin xt，t1,1，从而yat2btc，t1,1，即转化为给定区间的二次函数值域问题【例3】(1)求函数y2sin的最大值和最小值；(2)求函数y2cos2x2sin x
8、3，x的值域思路点拨：(1)由x的范围2x的范围借助单调性求y2sin的最值；(2)由x的范围sin x的范围函数的值域解(1)x，02x，0sin1，当sin1时，取得最大值2；当sin0时，取得最小值0.(2)y2(1sin2x)2sin x32sin2x2sin x122.x，sin x1.当sin x1时，取得最大值5；当sin x时，取得最小值.函数y2cos2x2sin x3的值域为.1(变条件)将本例(1)中“x”改为“x”，求y2sin的最值解x，2x，sin1，当sin1时，最大值为2，当sin时，取最小值.2(变条件)本例(2)中“y2cos2x2sin x3改为y2cos
9、2x2cos x3”，其它条件不变，求值域解y22，x，cos x.当cos x时，取得最大值.当cos x时，取得最小值.1求形如yAsin xB或yAcos xB型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间2求解形如yasin2xbsin xc(或yacos2xbcos xc)，xD的函数的值域或最值时，通过换元，令tsin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意tsin x(或cos x)的有界性教师独具1本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函
10、数的最值问题的求解2理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2的整数倍(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.3要重点掌握函数性质的应用(1)求正、余弦函数的周期(2)判断正、余弦函数的奇偶性(3)求正、余弦函数的单调区间(4)求正、余弦函数的
11、值域4本节课的易错点有以下两处(1)求形如函数yAsin(x)的单调区间时，如果0，应先利用诱导公式将其转化为正值(2)求形如函数yAsin2xBsin xC的值域时，易忽视正弦函数ysin x的有界性1函数ysin 2x的奇偶性为()A奇函数B偶函数C非奇非偶 D既奇又偶Asin(2x)sin 2x，函数ysin 2x为奇函数2函数ysin的单调递增区间是_(kZ)令2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)3将cos 150，sin 470，cos 760按从小到大排列为_cos 150cos 760sin 470cos 1500，sin 470sin 110cos 200，cos 760cos 400且cos 20cos 40，所以cos 150cos 760sin 470.4求函数ysin的单调区间解ysinsin.因为2x是关于x的增函数，所以只需要考虑ysin关于2x的单调性即可当2k2x2k(kZ)时，ysin2x为增函数，ysin为减函数，解得kxk(kZ)，即函数ysin的单调减区间为(kZ)；同理，令2k2x2k(kZ)，求得函数ysin的单调增区间为(kZ)
