1、2015-2016学年江西省宜春市丰城九中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数z=（m1）+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，其中mR，则|z|=（）A2B4CD22已知命题p：xy；则xy；命题q：若xy；则x2y2；在命题 pq，pq，p（q），（p）q中，真命题是（）ABCD3已知0ab，且a+b=1，则下列不等式中，正确的是（）Alog2a0BCDlog2a+log2b24某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温
2、，其数据如下表：月平均气温x（）171382月销售量y（件）243340 55由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=2，气象部门预测下个月的平均气温约为6，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件A46B40C38D585已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l6在如图所示的计算1+3+5+2013的程序框图中，判断框内应填入（）Ai1007Bi201lCi2013Di20137极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为（）A一条射线和一个圆B两条直线C一条直线和一个圆D一个圆8已知正三角形内切圆的
3、半径是高的，把这个结论推广到正四面体，类似的结论正确的是（）A正四面体的内切球的半径是高的B正四面体的内切球的半径是高的C正四面体的内切球的半径是高的D正四面体的内切球的半径是高的9将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则的值可以是（）ABCD10已知抛物线y2=2px（p0）与双曲线的一条渐近线交于一点M（1，m），点 M 到抛物线焦点的距离为 3，则双曲线的离心率等于（）A3B4CD11过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A2x+y3=0
4、B2xy3=0C4xy3=0D4x+y3=012已知函数f（x）及其导数f（x），若存在x0，使得f（x0）=f（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（）f（x）=x2，f（x）=ex，f（x）=lnx，f（x）=tanx，A2B3C4D5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知点A的极坐标为（4，），则点A的直角坐标是14已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为15设函数f（x）=（x0），观察： f1（x）=f（x）=， f2（x）=f（f1（x）=， f3（x
5、）=f（f2（x）=， f4（x）=f（f3（x）=，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn（x）=f（fn1（x）=16给出命题：在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；设l，m是不同的直线，是一个平面，若l，lm，则m；已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，“”是“m”的充要条件；在三棱锥SABC中，SABC，SBAC，则S在平面ABC内的射影是ABC的垂心；a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行其中，正确的命题是（只填序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17以直角坐标系的
6、原点O为极点，x轴的正半轴为极轴已知点P的直角坐标为（1，5），点M的极坐标为（4，）若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径（）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（）试判定直线l和圆C的位置关系18自选题：已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）（）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2写出C1，C2的参数方程C1与C2公共点的个数和C与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD（）
7、证明：PABD（）设PD=AD=1，求棱锥DPBC的高20命题p：log2（6x+12）log2（x2+3x+2）；命题q：4ax+a；（）若p为真命题，求x的取值范围；（）若p为真命题是q为真命题的充分条件，求a的取值范围21如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1CAB，求椭圆离心率e的值22已知函数f（x）=2x33x（）求f（x）在区间2，1上的最大值；（）若过点P（1，t）存在
8、3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（）问过点A（1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）2015-2016学年江西省宜春市丰城九中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数z=（m1）+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，其中mR，则|z|=（）A2B4CD2【考点】复数求模【分析】由z=（m1）+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，求出m的值，由此能求出|z|【解答】解：z=（m1）+（m+1）i（i为虚数
9、单位）为纯虚数，解得m=1z=2i，|z|=2故选：A2已知命题p：xy；则xy；命题q：若xy；则x2y2；在命题 pq，pq，p（q），（p）q中，真命题是（）ABCD【考点】复合命题的真假【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】解：根据不等式的性质可知，若xy，则xy成立，即p为真命题，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立，即命题q为假命题，则pq为假命题；pq为真命题；p（q）为真命题；（p）q为假命题，故选：C3已知0ab，且a+b=1，则下列不等式中，正确的是（）Alog2a0BCDlog2a+log2b2【考点】对数函
10、数的单调性与特殊点【分析】用特殊值法，令a=，b=，代入各个选项进行检验，把不满足条件的选项排除【解答】解：已知0ab，且a+b=1，令a=，b=，则 log2a=20，故 A不正确2ab=，故B不正确=23=8，故C不正确log2a+log2b=+=2，故D正确，故选D4某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x（）171382月销售量y（件）243340 55由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=2，气象部门预测下个月的平均气温约为6，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件A46B40C3
11、8D58【考点】线性回归方程【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=2，38=10（2）+a，解得：a=58，=2x+58，当x=6时， =26+58=46故选：A5已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论【分析】由题目给出的已知条件，
12、结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论【解答】解：由m平面，直线l满足lm，且l，所以l，又n平面，ln，l，所以l由直线m，n为异面直线，且m平面，n平面，则与相交，否则，若则推出mn，与m，n异面矛盾故与相交，且交线平行于l故选D6在如图所示的计算1+3+5+2013的程序框图中，判断框内应填入（）Ai1007Bi201lCi2013Di2013【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=3，第二圈：S=1+3，i=5，第三圈：
13、S=1+3+5，i=9，依此类推，第1007圈：1+3+5+2013，i=2015，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i2013，故选D7极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为（）A一条射线和一个圆B两条直线C一条直线和一个圆D一个圆【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论【解答】解：极坐标方程cos=2sin2可化为：cos=4sincoscos=0或=4sin或x2+y24y=0极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为一条直线和一个圆故选C8已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到正四面体，类似的结论正确的是（）A正四面体的内切球的半径
14、是高的B正四面体的内切球的半径是高的C正四面体的内切球的半径是高的D正四面体的内切球的半径是高的【考点】类比推理【分析】连接球心与正四面体的四个顶点把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可【解答】解：如图示：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4Sr=Sh，r=h，（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故选：C9将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则的值可以是（）ABC
15、D【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得的值，可得的值【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x2+）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则sin=，=，再根据sin（2+）=sin（2+）=，则的值可以是，故选：B10已知抛物线y2=2px（p0）与双曲线的一条渐近线交于一点M（1，m），点 M 到抛物线焦点的距离为 3，则双曲线的离心率等于（）A3B4CD【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的定义可得p的值，把点M（1，m）代入抛物线方
16、程可得m，代入双曲线的一条渐近线方程可得，再利用双曲线的离心率e=即可得出【解答】解：由题意，抛物线上的点M（1，m），点 M 到抛物线焦点的距离为 3，解得p=4知抛物线的方程为y2=8x，把点M（1，m）代入得m2=8，解得，取点把点代入双曲线的一条渐近线方程得双曲线的离心率e=3故选A11过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A2x+y3=0B2xy3=0C4xy3=0D4x+y3=0【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可【解答】解：因为过点（
17、3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足故选A12已知函数f（x）及其导数f（x），若存在x0，使得f（x0）=f（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（）f（x）=x2，f（x）=ex，f（x）=lnx，f（x）=tanx，A2B3C4D5【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据“巧值点”的定义，对五个命题逐一判断即可得到答案【解答】解：中的函数f（x
18、）=x2，f（x）=2x要使f（x）=f（x），则x2=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；对于中的函数，要使f（x）=f（x），则ex=ex，由对任意的x，有ex0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f（x）=f（x），则lnx=，由函数f（x）=lnx与y=的图象知，它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；对于中的函数，要使f（x）=f（x），则tanx=，即sinxcosx=1，sin2x=2，显然无解，原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f（x）=f（x），则x+=1，即x3x2+x+1=0，设函数g（x）=x3x2+x+1，g（x）=3x2+2x+10且g（1）
19、0，g（0）0，显然函数g（x）在（1，0）上有零点，原函数有巧值点故有“巧值点”的函数为，共3个故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知点A的极坐标为（4，），则点A的直角坐标是（2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，可求出点的直角坐标【解答】解：x=cos=4cos=2，y=sin=4sin=2，将极坐标是（4，），化为直角坐标是（2，2）故答案为：（2，2）14已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分
20、析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥的底面均为侧视图，故底面面积S=44=8，棱柱的高为8，故体积为64，棱锥的高为4，故体积为：，故组合体的体积V=64=，故答案为：15设函数f（x）=（x0），观察： f1（x）=f（x）=， f2（x）=f（f1（x）=， f3（x）=f（f2（x）=， f4（x）=f（f3（x）=，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn（x）=f（fn1（x）=【考点】归纳推理【分析】观察所给的前四
21、项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果【解答】解：函数f（x）=（x0），观察： f1（x）=f（x）=， f2（x）=f（f1（x）=， f3（x）=f（f2（x）=， f4（x）=f（f3（x）=，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，152n1，第二部分的数分别是2，4，8，162nfn（x）=f（fn1（x）=故答案为：16给出命题：在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；设l，m是不同的直线，是一个平面，若l，lm，则m；已知
22、，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，“”是“m”的充要条件；在三棱锥SABC中，SABC，SBAC，则S在平面ABC内的射影是ABC的垂心；a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行其中，正确的命题是（只填序号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据线面垂直的性质进行判断，根据线面垂直的判定定理进行判断，根据面面垂直和线面垂直的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断，根据线面垂直的性质结合三角形垂线的性质进行判断，根据异面直线的性质以及线面平行和线面垂直的性质进行判断【解答】解：在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故错误；设l，m
23、是不同的直线，是一个平面，若l，lm，根据直线平行和线面垂直的性质得m；故正确，已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，根据面面垂直的判定定理得若m，则，反之，不一定成立，即，“”是“m”的必要不充分条件，故错误；在三棱锥SABC中，过S作SO平面ABC，连接AO，BO，则SOBC，SABC，SAAO=A，BC平面SAO，BCAO，SBAC，同理可得ACBO，即S在平面ABC内的射影是ABC的垂心；故正确，a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行，错误只有当a，b垂直时，才能作出满足条件的平面，否则无法作出，故错误，故正确的是，故答案为：三、
24、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴已知点P的直角坐标为（1，5），点M的极坐标为（4，）若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径（）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（）试判定直线l和圆C的位置关系【考点】直线与圆的位置关系；直线的参数方程；圆的参数方程【分析】（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程（II）先化直线l的参数方程为普通方程，求出圆心坐标，用圆心的直线距离和半径比较可知位置关系【解答】解（I）直线l的参数方程为，（t为参数）圆C的极坐标方程为=8sin（II）因
25、为对应的直角坐标为（0，4）直线l化为普通方程为圆心到，所以直线l与圆C相离18自选题：已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）（）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2写出C1，C2的参数方程C1与C2公共点的个数和C与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由【考点】圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系；直线的参数方程【分析】（I）先利用公式sin2+cos2=1将参数消去，得到圆的直角坐标方程，利用消元法消去参数t得到直线的普通方程，再根据圆心到直线的距离与半径进行比较，从而得到C1与C2公共
26、点的个数；（II）求出压缩后的参数方程，再将参数方程化为普通方程，联立直线方程与圆的方程，利用判别式进行判定即可【解答】解：（）C1是圆，C2是直线C1的普通方程为x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径r=1C2的普通方程为因为圆心C1到直线的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点（）压缩后的参数方程分别为C1：（为参数）；C2：（t为参数）化为普通方程为：C1：x2+4y2=1，C2：，联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线C2与椭圆C1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD（）证明：
27、PABD（）设PD=AD=1，求棱锥DPBC的高【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）因为DAB=60，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BDAD，根据PD底面ABCD，易证BDPD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PABD；（II）要求棱锥DPBC的高只需证BC平面PBD，然后得平面PBC平面PBD，作DEPB于E，则DE平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长【解答】解：（）证明：因为DAB=60，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD（II）解：作D
28、EPB于E，已知PD底面ABCD，则PDBC，由（I）知，BDAD，又BCAD，BCBD故BC平面PBD，BCDE，则DE平面PBC由题设知PD=1，则BD=，PB=2根据DEPB=PDBD，得DE=，即棱锥DPBC的高为20命题p：log2（6x+12）log2（x2+3x+2）；命题q：4ax+a；（）若p为真命题，求x的取值范围；（）若p为真命题是q为真命题的充分条件，求a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（）若p为真，则，利用对数函数的单调性得解出即可得出（）若q为真命题，则4ax+a；即2a（x+1）（x+1）（x3），又p为真命题，即1x5可得a即可得出【
29、解答】解：（）若p为真，则，得即，解得：1x5（）若q为真命题，则4ax+a；即2a（x+1）（x+1）（x3），又p为真命题，即1x5x+10，故a依题意得，a221如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1CAB，求椭圆离心率e的值【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值（2）求出C的坐标，利用F1CAB建立斜率之间的关系，解方
30、程即可求出e的值【解答】解：（1）C的坐标为（，），即，a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1（2）设F1（c，0），F2（c，0），B（0，b），直线BF2：y=x+b，代入椭圆方程+=1（ab0）得（）x2=0，解得x=0，或x=，A（，），且A，C关于x轴对称，C（，），则=，F1CAB，（）=1，由b2=a2c2得，即e=22已知函数f（x）=2x33x（）求f（x）在区间2，1上的最大值；（）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（）问过点A（1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）
31、【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）利用导数求得极值点比较f（2），f（），f（），f（1）的大小即得结论；（）利用导数的几何意义得出切线方程46+t+3=0，设g（x）=4x36x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；（）利用（）的结论写出即可【解答】解：（）由f（x）=2x33x得f（x）=6x23，令f（x）=0得，x=或x=，f（2）=10，f（）=，f（）=，f（1）=1，f（x）在区间2，1上的最大值
32、为（）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=23x0，且切线斜率为k=63，切线方程为yy0=（63）（xx0），ty0=（63）（1x0），即46+t+3=0，设g（x）=4x36x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”g（x）=12x212x=12x（x1），g（x）与g（x）变化情况如下： x（，0） 0 （0，1） 1（1，+） g（x）+ 0 0+ g（x） t+3 t+1g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值当g（0）=t+30，即t3时，g（x）在
33、区间（，1和（1，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（1）=t+10，即t1时，g（x）在区间（，0和（0，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（0）0且g（1）0，即3t1时，g（1）=t70，g（2）=t+110，g（x）分别在区间1，0），0，1）和1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（，0）和1，+）上单调，故g（x）分别在区间（，0）和1，+）上恰有1个零点综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（3，1）（）过点A（1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切2016年8月13日