1、空间中的平行关系【例1】如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点求证：(1)GE平面BDD1B1；(2)平面BDF平面B1D1H.思路探究：(1)取B1D1的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形(2)证B1D1平面BDF，HD1平面BDF.证明(1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证OGB1C1，BEB1C1，OGBE，四边形BEGO为平行四边形，OBGE.OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，GE平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.连结HB，D1F，易
2、证HBFD1 是平行四边形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.1判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)2证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“
3、线面平行”“面面平行”的相互转化1如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，P为平面ABC外一点设Q为PA的中点，G为AOC的重心求证：QG平面PBC.证明如图，连接OG并延长，交AC于点M，连接QM，QO，OM.由G为AOC的重心，得M为AC的中点由Q为PA的中点，得QMPC.又O为AB的中点，所以OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.又QG平面QMO，所以QG平面PBC.空间中的垂直关系【例2】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点求证：(1)DEDA；(
4、2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.思路探究：取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.(1)证DFEABD，(2)证BN平面ECA，(3)证DM平面ECA.证明(1)如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DFBC，ECBC，DFEC.在RtDEF和RtDBA中，EFECBD，FDBCAB，RtDFERtABD，故DEDA.(2)取CA的中点N，连结MN，BN，则MNEC，MNBD，即N点在平面BDM内EC平面ABC，ECBN.又CABN，BN平面ECA.BN在平面MNBD内，平面MNBD平面ECA，即平面BDM平面ECA.(3)DMBN，BN平面ECA，DM平面EC
5、A.又DM平面DEA，平面DEA平面ECA.空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角)；线面垂直的性质(若a，b，则ab)(2)判定线面垂直的方法线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；线面垂直的判定定理(am，an，m，n，mnAa)；平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)；面面垂直的性质定理(，l，a，ala)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(l，l)(3)面面垂直的判定方法根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90)；面面垂直的判定定理(a，a)2如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD平面ABCD，M为PC的中
6、点(1)求证：AP平面MBD；(2)若ADPB，求证：BD平面PAD.证明(1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点又M为PC的中点，所以OMPA.因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP平面MBD.(2)因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.因为ADPB，PDPBP，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD平面PBD.因为BD平面PBD，所以ADBD.因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD.又因为BDAD，ADPDD，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD平面PAD.空间几何体的体积及表面积【例3】如图，
7、四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积思路探究：(1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(2)先求出点N到平面BCM的距离及BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解解(1)证明：由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC
8、的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得，AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四
9、棱锥的侧面积解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，因为APPDP，AP平面PAD，PD平面PAD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.平面图形的翻折问题
10、【例4】如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP，D是AP的中点，E，F分别为PD，PC的中点，将PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD.(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG平面PAD；(2)当G为BC的中点时，求证：AP平面EFG.思路探究：(1)转化为证EF平面PAD；(2)转化为证平面PAB平面EFG.证明(1)在直角梯形ABCP中，BCAP，BCAP，D为AP的中点BCAD，又ABAP，ABBC，四边形ABCD为正方形，CDAP，CDAD，CDPD.在四棱锥PABCD中，E，F分别为PD，PC的中点，EFCD，EFAD，EFPD.又PDADD，PD平面PAD，
11、AD平面PAD.EF平面PAD.又EF平面EFG，平面EFG平面PAD.(2)法一：G，F分别为BC和PC的中点，GFBP.GF平面PAB，BP平面PAB，GF平面PAB.由(1)知，EFDC，ABDC，EFAB.EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.EFGFF，EF平面EFG，GF平面EFG.平面EFG平面PAB.PA平面PAB，PA平面EFG.法二：取AD中点H(略)，连结GH，HE.由(1)知四边形ABCD为平行四边形又G，H分别为BC，AD的中点，GHCD.由(1)知，EFCD，EFGH.四点E，F，G，H共面E，H分别为PD，AD的中点，EHPA.PA平面EFGH，EH平面
12、EFGH.PA平面EFGH，即PA平面EFG.空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形4如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示(1)(2)(1)求证：BE平面ADF；(2)求三棱锥FBC
13、E的体积解(1)证明：法一：取DF的中点G，连结AG，EG，CEDF，EGCD.又ABCD，EGAB，四边形ABEG为平行四边形，BEAG.BE平面ADF，AG平面ADF，BE平面ADF.法二：由图(1)可知BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.同理CE平面ADF.BCCEC，BC，CE平面BCE，平面BCE平面ADF.BE平面BCE，BE平面ADF.(2)法一：VFBCEVBCEF，由图(1)可知BCCD.平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面DCEF.由图(1)可知DCCE1，SCEFCEDC，VFBCEVBCEFBCSCEF.法二：由图(1)，可知CDBC，CDCE，BCCEC，CD平面BCE.DFCE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BCCE1，SBCEBCCE，VFBCECDSBCE.法三：过E作EHFC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BCCD，平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面DCEF.EH平面DCEF，BCEH，EH平面BCF.由BCFC，FC，SBCFBCCF，在CEF中，由等面积法可得EH，VFBCEVEBCFEHSBCF.