1、2019-2020学年江西省宜春市上高二中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题）1. 已知命题p：“，有成立”，则命题为A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立2. 已知圆，过点的直线l交该圆于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最大值是A. B. 2C. D. 43. 若命题“，”是假命题，则实数x的取值范围是A. B. C. D. 4. 圆心为的圆，在直线上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为A. B. C. D. 5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是A. B. C. D. 6. 如图在正方体中，O是底面ABCD的中心，
2、H为垂足，则与平面的位置关系是A. 垂直B. 平行C. 斜交D. 以上都不对7. 命题p：函数且的图象必过定点，命题q：如果函数的图象关于点对称，那么函数的图象关于点对称，则A. 为真B. 为假C. p真q假D. p假q真8. 已知命题p：，命题q：，则p成立是q成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是 A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离10. 已知圆C：，平面区域：，若圆心，且圆C与x轴相切，则的最大值为A. 5B. 29C. 37D. 4911. 已知三棱锥四个顶点均在半径为R的
3、球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为A. B. C. D. 12. 在长方体中，二面角的大小为，与平面ABCD所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 给下列三个结论：命题“，”的否定是“，”；若，则的逆命题为真；命题“若，则”的否命题为：“若，则”；其中正确的结论序号是_填上所有正确结论的序号14. 已知点在圆上运动，则的最小值为_15. 如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为_16. 已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_三、解答题（本大题共6小题）17. 已知直线l过点
4、，圆C：，直线l与圆C交于A，B两点求直线PC的方程；求直线l的斜率k的取值范围；是否存在过点且垂直平分弦AB的直线？若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由18. 已知函数，若对任意，都有成立，求实数m的取值范围若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围19. 已知，命题p：对，不等式恒成立；命题q：对，不等式恒成立若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若为假，为真，求实数m的取值范围20. 已知在四棱锥中，底面ABCD是矩形，且，平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点判断并说明PA上是否存在点G，使得平面PFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；若PB与平面ABCD所
5、成的角为，求二面角的平面角的余弦值21. 如图，平面平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，求证：平面BAF；若二面角的平面角的余弦值为，求AB的长22. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足求动点P的轨迹E的方程；若直线l：和轨迹E交于M，N两点，且点B在以MN为直径的圆内，求k的取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，命题p：“，有成立”，则命题为：，有成立故选：B直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2.【答案】B【解析】【解答】解：当直线l不存在斜率时，当直线存在斜率时，设斜率
6、为k，则直线l的方程为，即，圆心到直线的距离，当且仅当等号成立，即，面积的最大值是2故选B【分析】讨论l斜率不存在和存在的情况，当斜率存在时，设出方程求出圆心到直线的距离d，利用基本不等式求出，即可得出结论本题考查直线与圆的位置关系，以及基本不等式的应用，属于中档题3.【答案】A【解析】解：若命题为真命题时，不等式变为：，设函数，单调增，解得：，即或所以命题为假命题时的实数x的取值范围是：故选：A先求真命题时的x的范围，再求它的补集，将不等式转化成关于a的函数，通过单调性端点值的函数值都大于零即可考查不等式转化函数，再用函数的主参换位的单调性来求x的取值范围属于中难题4.【答案】A【解析】【分
7、析】此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题由垂径定理，根据弦长的一半及圆心到直线的距离求出圆的半径，即可写出圆的标准方程【解答】解：圆心到直线的距离，弦长为，圆的半径，则圆的方程为故选A5.【答案】B【解析】解：由三视图可知此几何体是一个简单的组合体：上面一个半径为1球，下面一个底面边长为2高为3正四棱柱球的表面积为，正三棱柱的表面积为 原几何体的表面积为 故选B首先由三视图还原成原来的几何体，再根据边长关系求表面积本题考查由三视图求几何体的表面积，须能由三视图还原成原几何体并能找准长度
8、关系，须有较强的空间立体感属简单题6.【答案】A【解析】解：连结，BD，因为几何体是正方体，底面ABCD是正方形，所以，又，平面，平面，平面C.故选A连结，BD，证明平面，通过证明，推出结果本小题主要考查空间线面垂直关系，化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力7.【答案】C【解析】解：当时，函数，图象过定点，命题p正确；当的图象关于点对称时，的图象向左平移3个单位，得到的图象，的图象关于原点对称，命题q错误；真q为假；故选：C判定命题p、q的真假，利用函数的性质进行判断即可本题通过判定命题的真假，考查了函数的性质与应用问题，是基础题8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了充分
9、必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质，是一道基础题分别求出关于p，q成立的a的范围，根据集合的包含关系判断即可【解答】解：由，解得：，故命题p：；若，则，解得：，或时，恒成立，故q：；故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A9.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线和圆的位置关系及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可【解答】解：圆的标准方程为M：，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆M：截直线所得线段的长度是，即，即，则圆心为，半径，圆N：的圆心为，半径，则，即两个圆相交故选B10.【答
10、案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为，半径为1圆心，且圆C与x轴相切，则，要使的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即，当，时，即最大值为37，故选：C画出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结果本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法11.【答案】D【解析】【分析】由题意可知：为直角三角形，根据三棱锥的体积公式，即可求得D到平面ABC的最大距离为3，利用勾股定理即可求得球O半径，求得球O的表面积本题考查球的表面积及体积公式，考查勾股定理的应用，
11、属于基础题【解答】解：设的外接圆的半径为r，三棱锥的体积的最大值为1，到平面ABC的最大距离为3，球的半径为R，则，球O的表面积为故选：D12.【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题由题意画出图形，连接，可得为异面直线与所成角，然后解直角三角形及余弦定理求得答案【解答】解：如图，由二面角的大小为，可知，又与平面ABCD所成角的大小为，连接，设，则，在中，由余弦定理可得：异面直线与所成角的余弦值是故选：B13.【答案】【解析】解：命题“，”的否定是“，”；满足命题的否定形式，所以正确；若，则的逆命题为：，则，
12、显然不正确，所以不正确；命题“若，则”的否命题为：“若，则”；所以不正确；故答案为：利用命题的否定判断的正误；写出命题的逆命题，然后判断真假即可写出命题的否命题，推出正误即可本题考查命题的真假的判断应用，考查转化思想以及计算能力14.【答案】1【解析】解：由，得，即，当且仅当，即时，取得最小值，为1故答案为：1由已知可得，再由，展开多项式乘多项式，再由基本不等式求最值本题考查基本不等式的性质以及应用，考查数学转化思想方法，是中档题15.【答案】【解析】解：三棱柱的所有棱长均为1，且底面ABC，点A到平面的距离，三棱锥的体积：故答案为：由已知得，点A到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积本题考查三
13、棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养16.【答案】【解析】解：解：如图：，满足，又，平面ABC，平面DAB，是三棱锥的外接球的直径，三棱锥的外接球的表面积为故答案为：，根据勾股定理可判断，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积本题考查了三棱锥的外接球的表面积，关键是根据线段的数量关系判断CD是三棱锥的外接球的直径17.【答案】解：设圆C：，圆心为，直线l过点，故直线PC的方程为，即直线l的方程为，则由得由得故假设存在直线垂直平分于弦AB，此时直线过，则，故AB的斜率，由可知，不满足条件所以，不存在存在直线垂
14、直于弦AB【解析】求出圆的圆心坐标，利用截距式方程求直线PC的方程；联立直线与圆的方程，通过判别式求解k的范围即可；求出直线的斜率，利用垂直关系，判断是否存在直线方程本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力18.【答案】解：由题设知：，在上递减，在上递增，又在上递减，有，m的范围为；由题设知，有，即，的范围为【解析】问题转化为，分别求出函数的最小值和最大值，得到关于m的不等式，解出即可；问题转化为，分别求出函数的最小值和最大值，得到关于m的不等式，解出即可本题考查了求函数的最值问题，考查转化思想，是一道中档题19.【答案】解：对，不等式，则，即，即，解得，则实数m的取值范围是若，
15、不等式恒成立，即，即恒成立，当，函数为增函数，则，即q：，若为假，为真，则p，q中一个为真命题，一个为假命题，若p真q假，则，无解，若p假q真，则，得，综上，即实数m的取值范围是【解析】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据不等式恒成立求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键根据不等式恒成立，转化为最值问题进行求解即可根据复合命题真假关系判断命题p，q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解即可20.【答案】解：假设在PA上存在点G，使得平面PFD，建立如图所示的空间直角坐标系，设，1，2，0，0，0，设平面PFD的一个法向量，令，则，PA上存在点G，使得平面PFD为直线PB与平面ABCD所
16、成的角，所以：由得：平面PDF的法向量为：由于：所以：二面角的平面角的余弦值【解析】首先假设点的存在，建立空间直角坐标系利用法向量建立向量间的关系利用线面的夹角，和法向量，求出夹角的余弦值本题考查的知识要点：存在性问题的应用，二面角的应用法向量的应用，空间直角坐标系的建立，属于基础题型21.【答案】证明：平面平面ADEF，且ABCD为矩形，平面ADEF，又平面ADEF，又且，平面BAF；解：设以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系则0，0，0，0，平面ABF，平面ABF的法向量可取1，设y，为平面BFD的法向量，则，取，可得1，得，【解析】由平面平面ADEF，且AB
17、CD为矩形，可得平面ADEF，得到，又，由线面垂直的判定可得平面BAF；设以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系可得平面ABF的法向量可取1，再求出平面BFD的法向量1，结合二面角的平面角的余弦值为求AB的长本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题22.【答案】解：设，动点P满足，化为：则，设，满足，故k的取值范围是【解析】设，根据动点P满足可得，化简即可得出，设，把根与系数的关系代入即可得出本题考查了圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题