1、解三角形的实际应用举例距离问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时两船之间的距离是()A.50 n mileB.70 n mileC.90 n mileD.110 n mile【解析】选B. 到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为l=70 n mile.2.海洋中有A,B,C三座灯塔,其中A,B之间距离为a,在A处观察B,其方向是南偏东40,观察C,其方向是南偏东70,
2、在B处观察C,其方向是北偏东65,B,C之的距离是()A.aB.aC.aD.a【解析】选D.如图所示,由题意可知AB=a,BAC=70-40=30,ABC= 40+65=105,所以C=45,在ABC中,由正弦定理得=,即BC=a.3.一艘海轮从A处出发,在A处观察灯塔C,其方向是南偏东85.海轮以每小时60海里的速度沿南偏东40方向直线航行,20分钟后到达B处.在B处观察灯塔C,其方向是北偏东65.则B,C之间的距离是()A.10海里B.20海里C.20海里D.10海里【解析】选C.A,B,C的位置如图所示:因为C在A的南偏东85的位置,故EAC=85,因为B在A的南偏东40的位置,故EAB
3、=40,所以CAB=45.因C在B的北偏东65的位置,故DBC=65,因DBA=40,故ABC=105,即ACB=30,在ABC中,=,AB=60=20(海里),故BC=20海里.4.(2019成都高一检测)如图所示,隔河可以看到对岸两目标A,B,但不能到达,现在岸边取相距4 km的C,D两点,测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A,B,C,D在同一平面内),则两目标A,B间的距离为()A. kmB. kmC. kmD.2 km【解析】选B.由已知,在ACD中,CAD=30,ACD=120,由正弦定理得,=,所以AD=4 km,在BCD中,CBD=60,由正弦定理得,=
4、,所以BD= km,在ABD中,由余弦定理得,AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=,解得:AB= km.5.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4 m,A=30,则其跨度AB的长为()A.12 mB.8 mC.3 mD.4 m【解析】选D.由已知A=B=30,所以C=180-30-30=120,由正弦定理得,=,即AB=4(m).6.江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,从炮台顶部测得俯角分别为45和30,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距()A.10米B.100米C.20米D.30米【解析】选D.如图,过炮台顶部A作水平面的垂线,垂足为B,设A
5、处观测小船C的俯角为45,设A处观测小船D的俯角为30,连接BC,BD.在RtABC中,ACB=45,可得BC=AB=30米,RtABD中,ADB=30,可得BD=AB=30米,在BCD中,BC=30米,BD=30米,CBD=30,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos 30=900,所以CD=30米(负值舍去).二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75,距离为12 n mile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30,距离为8 n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在东偏南30,则(1)A处与D处之间的距离为_n mile;
6、(2)灯塔C与D处之间的距离为_n mile.【解析】(1)在ABD中,AB=12,ADB=180-120=60,BAD=75,所以B=45.由正弦定理得AD=24(n mile).故A处与D处之间的距离为24 n mile.(2)在ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30,解得CD=8(n mile).故灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.答案:(1)24(2)88.(2019烟台高一检测)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45的方向上,仰角为,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15的方向上,仰角为,若=
7、45,则此山的高度CD=_米,仰角的正切值为_.【解析】设山的高度CD=x(米),由题可得:CAB=45,ABC=105,AB=300(米), CBD=45,在ABC中,可得:ACB=180-45-105=30,利用正弦定理可得:=,解得:CB=300(米),AC=150 (米),在RtBCD中,由CBD=45,可得:x=CB=300(米),在RtACD中,可得:tan =-1.答案:300-1 三、解答题(每小题10分,共20分)9.甲船自某港出发时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120角,甲、乙两船航速之比为21,求两船间距离最短时,各离该海港多远?【解析】如图所示,甲船
8、由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,显然EAD=60.设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,AC=2s,而EAD=60,由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos 60=7(s-2)2+21(0s0,所以cosACB=,因为在ABC中,BC=1,AB=2,cosACB=,所以由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BCACcosACB,即AC2-AC-3=0,解得AC=,或AC=-(舍去),所以AC的长为.(2)因为cosBCD=-,所以sinBCD=,又因为CBD=45,所以sinCDB=sin(180-BCD-45)=sin(BCD+4
9、5)=(sinBCD+cosBCD)=,所以在BCD中,由正弦定理得=,可得CD=5,即CD的长为5.12.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?【解题指导】(
10、1)在ABC中,由cos A和cos C可得sin A和sin C,从而求得sin B,由正弦定理=,可得AB;(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,由余弦定理得d2=200(37t2-70t+50),结合二次函数即可得最值.【解析】(1)在ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.由正弦定理=,得AB=sin C=1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),因0t,即0t8.故当t=min时,甲、乙两游客距离最短.