1、模块综合评估(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1数列1,3,7,15，的通项公式an可能是(C)A2n B2n1 C2n1 D2n1解析：取n1时，a11，排除A、B，取n2时，a23，排除D.2已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB(A)A2，1 B1,2) C1,1 D1,2)解析：由已知，可得Ax|x3或x1，则ABx|2x12，1故选A.3在ABC中，B135，C15，a5，则此三角形的最大边长为(A)A5 B5 C2 D3解析：依题意，知三角形的最大边为b.由于A30，根据正弦定理，得，所以b5.4若f
2、(x)x2mx1的函数值有正值，则m的取值范围是(A)Am2 B2m2 Cm2 D1m0，所以m2或m2.5已知cb0，则下列不等式中必成立的一个是(B)Aacbd Bacbd Cadbc D.解析：由不等式的性质可知cd.又ab0，a(c)b(d)，即acbd.6等差数列an满足aa2a4a79，则其前10项之和为(D)A9 B15 C15 D15解析：因为aa2a4a7(a4a7)29，所以a4a73，所以a1a103，所以S1015.7某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g药品，他先将5 g的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平
3、衡，则此学生实际所得药品(B)A小于10 g B大于10 g C大于等于10 g D小于等于10 g解析：设左、右臂长分别为t1，t2(t1t2)，第一次称的药品为x1 g，第二次称的药品为x2 g，则有5t1x1t2，x2t15t2，所以x1x255210，即大于10 g.8已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是(C)A(3,6) B. C. D(3，)解析：作出可行域，如图阴影部分所示目标函数z的几何意义是可行域内的点(x，y)与原点(0,0)间连线的斜率由图可知kOCzkOB.易求得B(1,6)，C，因为kOC，kOB6，所以z6.9在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等
4、差数列，每一列成等比数列，那么xyz的值为(B)A1 B2 C3 D4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为的等比数列，故有x1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，故其公比为，所以y53，同理z64，故xyz2.10已知x，y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是(C)AR B(0,4 C4，) D(，04，)解析：原式2，又x，y0，2224，当且仅当，即xy时等号成立11若x，y满足条件当且仅当xy3时，zaxy取得最大值，则实数a的取值范围是(C)A. B. C. D.解析：直线3x5y60和直线2x3y150的斜率分别为k
5、1，k2，且两直线的交点坐标为(3,3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线zaxy经过点(3,3)时，z取得最大值，则直线zaxy的斜率a满足a，解得a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(写出所有正确不等式的编号)ab1；a2b22；2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab1，当且仅当ab时取等号，故正确；()2ab2224，当且仅当ab时取等号，得2，故错误；由于1，故a2b22成立，故正确；1112，当且仅当ab时取等号，故正确三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题10分)已知方程ax2bx20的两根为和
6、2.(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2bx10.解：(1)因为方程ax2bx20的两根为和2.由根与系数的关系，得解得a2，b3.(2)易知ax2bx10，即2x23x10，解得x0的解集为.18(本小题12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，sinB3sinC.(1)求tanC的值；(2)若a，求ABC的面积解：(1)因为A，所以BC，故sin3sinC，所以cosCsinC3sinC，即cosCsinC，得tanC.(2)由，sinB3sinC，得b3c.在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccosA9c2c22(3c)c7c2，又因为a，所以c1，b3
7、，所以ABC的面积为SbcsinA.19(本小题12分)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明sinAsinC2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值解：(1)证明：a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sinAsinC2sinB.sinBsin(AC)sin(AC)，sinAsinC2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cosB，当且仅当ac时等号成立cosB的最小值为.20(本小题12分)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bna
8、，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解：(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12，所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnan(n1)，所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn21(本小题12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工
9、时300个已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x吨，乙种蔬菜y吨，利润为z元，根据题意可得目标函数为：z700x1 200y，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x1 200y0，即7x12y0，平移直线，当直线过A点时目标函数取最大值解方程组得x20，y24.所以点A的坐标为(20,24)所以zmax700201 2002442 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元22(本
10、小题12分)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN)(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若a11，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列anb的前n项和Sn.解：(1)证明：由已知，bn2an0.当n1时，2an1an2d.所以，数列bn是首项为2a1，公比为2d的等比数列(2)函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln2)(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意，a22.解得a22.所以，da2a11，ann，bn2n，anbn4n.于是，Tn14242343(n1)4n1n4n,4Tn142243(n1)4nn4n1.因此，Tn4Tn4424nn4n1n4n1.所以，Tn.