1、直线和平面复习（一） 教学目标1配合系统复习，进一步培养空间想象力；2借助平面几何中，三角形的重心、垂心、内心、外心等知识，解决立体几何问题教学重点和难点1空间想象力的培养；2分析问题能力与综合运用知识能力的培养教学设计过程师：同学们已经很好地完成了知识总结的作业，有些同学还将知识的内在联系用图表展示出来也有的同学将各种位置关系用图形语言和符号语言进行归纳和整理在此一并提出表扬我们将把这些总结用展板展示，请同学们互相学习师：本节课我们将通过一组问题来进行复习复习的目的之一是进一步培养同学们的空间想象力关于空间想象力的问题，在高一年级刚开始时，单纯的想象占主导地位，随着一个学期的学习，关于线面的
2、各种位置关系及性质研究的深入，单纯的想象力就转化为：在线面各种位置关系的定义、性质定理指导下的想象请先看下面一组题目：填空题：1空间三个平面可能将空间分成_部分2正方体各个面所在的平面将空间分成_部分3与空间四个点距离相等的平面有_个*4A，B，C，D是空间不共面的四点它们到平面的距离比（依次）为：2111，满足条件的平面有个生：第1题空间三个平面可能将空间分成4或6或7或8部分师：请你画图说明你的观点生：（作图）师：很好，图1、图2、图3、图4依次表示三个平面将空间分成4，6，7，8部分生：第2题答案是27师：你给同学们解释一下，答案为什么是27生：（手拿一个粉笔盒）这个粉笔盒近似看成一个正
3、方体，它的上底面与下底之间被分成9部分同样，上底面上边与下底面下面也各被分成9部分总计正方体各个面所在的平面将空间分成27部分师：对于第3小题，需要先证明下面的命题：线段AB与平面相交，若AB中点C在平面上，则点A、点B到平面的距离相等生A：本题的答案为4，因为经过有公共顶点的三条棱的中点作截面，根据老师刚介绍的引理，可以证明这样的截面符合条件（如图5） 生B：还有一种情况刚才生A所作平面使已知四个点中有三个在平面的同一侧，另外一个点在另一侧我想所作平面两侧各有2个点如图6这类平面共有3个，即V，A两点在平面同侧；V，B两点在平面同侧；V，C两点在平面同侧师：刚才两名同学讲的都很好，相互补充，
4、符合条件的平面共有7个同学们有不同意见吗？师：刚才两名同学都认为已知四个点不共面，事实上，当这四个点共面时，符合题目要求的平面有无数个只要与四点所在平面平行的平面都符合要求生：老师，如果这四个点共线呢？师：当四个点共线时，只要与这条直线平行的平面均符合条件，这个题目的正确答案应该是7个或无数个分类讨论的方法不仅在代数课上使用，几何学中也经常使用，此题就是按照图形的不同位置关系进行分类讨论我们继续讨论第4题生：我认为仿照第3小题的解答，可提出下面引理：若点A、点B师：他的猜测是正确的这个命题的正确性请同学们课下论证下面我们讨论第4小题的解法生A：分别延长AB，AC，AD至B1，C1，D1，使BB
5、1=AB，CC1=AC，DD1=AD，如图7，则平面就是平面B1C1D1生B：分别在AB，AC，AD上取点B，C，D，使得：师：分别取BC，CD，DA的中点E，F，G那么经过EG的任何一个平面都满足：它与B，C，D三点的距离相等，在这些平面中，经过点B或经过CD（因为CDCDGE）的平面符合题目要求（图8）经过EG有两个平面符合题意同样，经过EF，FG各有两个平面符合题意，综合以上分析共有8个平面符合题目要求师：问题5是否存在一个四面体，它的每个面都是直角三角形？请同学们思考生A：我找到一个几何体，它的三个面都是直角三角形如图 9AVB=BVC=CVA=90生B：我曾经证过生A所给的图中，AB
6、C是锐角三角形师：根据两名同学的发言，给我们以下启示：三个面是直角三角形的几个体已经找到；三个直角顶点不能是同一个点！构造VAB=VAC=90，且BAC90再构造ACB=90，同学们不难证明VCB=90生：是根据三垂线定理师：空间想象力在不同时期有不同要求上面这个问题如果是高一第一学期开始让同学们作，那就只有想象或动手制做模型现在解决它，可以借助我们所学的线面位置关系去寻找解决问题的方法，并且在想象结束时，论证想象的合理性师；如图11，正方体ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分别在C1D1，CC1，AB上画出截面PQR与正方体各面的交线由公理知：PQ 面DC1因为面AB1面DC1，截面与它
7、们相交，交线必平行（根据面面平行的性质定理）过点R在面AB1中作PQ平行线交AA1于SPQ交DC于T，TR交BC于E，连结EQ，过S作SFEQ交A1D1于F，连FP，则多边形PQERSF的边就是截面PQR与正方体各面的交线师：同学们请看下面一组题：6从平面外一点向平面引垂线和斜线，若斜线与平面所成的角都相等，垂足是斜足多边形的_心7直角三角形ABC中，C是直角，AC=6，BC=8，ABC所在平面外一点P，PA=PB=PC=13，点P到ABC所在平面的距离为_生：垂足是斜足多边形的外心，因为从平面外一点向平面引斜线它们与平面所成角相等，可以得到它们的长相等，它们在平面内的射影长也相等师：同学们还
8、可以进一步思考，满足什么条件时，垂足是斜足多边形的内心？垂足有没有可能成为斜足多边形的重心？垂心？做完一道题目之后，不要满足于题目的本身，能够将条件、结论变换后的有关命题进行研究，可达到事半功倍，提高能力的效果师：根据已知条件，第7小题中，点P在ABC所在平面上的射影恰为ABC的外心由于ABC是直角三角形，所以由点P引平面ABC的垂线，垂足恰为ABC斜边AB的中点，你们知道了解题思路吗？生：作PD面ABC于D，由PA=PB=PC，得DA=DB=DC，D是ABC外心又因为ACB=90，由平面几何知识，得出D为AB的中点PA=13，AD=5，PD=12即点P到平面ABC的距离为12师：三角形的垂心
9、、内心、外心、重心的知识在立体几何中经常使用有一些题目本身没有明确给出，如第7小题，恰到好处地运用四心有关的知识，可简化解题过程下面一道题目也是与三角形的“心”有关的问题8如图13，正ABC边长为a，O为外心，PO面ABC，PA=PB=PC=b，D，E分别为AC，AB的中点，且PA面DEFG求：四边形DEFG的面积由题设我们能得到哪些有用的结论？生A：因为PA面EFGD，由线面平行的性质可得：EFPA，GDPA，所以EFDG由D，E分别是AB，AC的中点，DEBC，所以BC面DEFG进一步得出BCFG综上DEFG是平行四边形能求出平行四边形DEFG的面积师：到目前为止，已知条件中还有两条没有发挥作用等边ABC；O为ABC的外心，生C：当O为等边三角形外心时，它也是等边ABC的垂心即BCAO，又PO面ABC，由三垂线定理知：BCPA已经证明了EFPA，BCDE，得出EFDE，EFGD为一矩形，它的面积师：有效地利用“心”的有关概念，较好地解决一些立体几何问题本节课重点讨论了两个方面的问题；1关于空间想象力的进一步培养问题不是空象，要注意有意识地利用各种线面位置关系2通过问题，适当复习了平面几何中的“四心”问题，进一步掌握利用“四心”的知识解决的方法下面布置作业：（略）高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u