1、河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.【题文】第I卷（选择题，共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上【题文】1设集合，则（）ABCD【知识点】交集的基本运算.
2、A1【答案】【解析】B 解析：由题意得：，同理： ，所以，故选B。【思路点拨】先根据题意求出集合、后再求即可。【题文】2 已知是虚数单位，和都是实数，且，则（ ）ABCD【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】D 解析：因为和都是实数，且，所以可得：，解得，所以，故选D.【思路点拨】利用复数相等的条件求出和的值，代入后直接利用复数的除法运算进行化简【题文】3设若，则的值为（ ）ABCD 【知识点】定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值B13 B8【答案】【解析】A 解析：由题意可知，又，所以，故，解得，故选A【思路点拨】求出的值，然后利用，通过积分求解的值【题文】4设
3、为两个非零向量，则“”是“与共线”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2【答案】【解析】D 解析：若，则，即，则，则与共线不成立，即充分性不成立若与共线，当，此时不成立，即必要性不成立，故“”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论【题文】5右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于（ ）A BC D【知识点】程序框图.L1【答案】【解析】C 解析：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得
4、分是三个分数中差距小的两个分数的平均分根据，不满足，故进入循环体，输入，判断与，哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分因此由，解出=8故选C【思路点拨】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分【题文】6已知 ，且 ，则 （ ） A B C D【知识点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正切C4 C5【答案】【解析】C 解析：，且 ，故选：C【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得，可得，解方程求得，最后可求得的值【题文】7已知,点在内，且，设，则等于
5、（ ）A B3 C D【知识点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点F3【答案】【解析】B 解析：,在x轴方向上的分量为,在y轴方向上的分量为两式相比可得：故选B.【思路点拨】先根据可得，再计算出，又根据，可得答案【题文】8等差数列的前项和为，且，则过点和 ()的直线的一个方向向量是()A B C D【知识点】直线的斜率.H1【答案】【解析】A 解析：等差数列中，设首项为，公差为，由，得，解得=3，=4则，过点P和Q的直线的一个方向向量的坐标可以是即为，故选A【思路点拨】由题意求出等差数列的通项公式，得到P，Q的坐标，写出向量的坐标，找到与向量共线的坐标即可【题文】9函数的图象恒过定点，若点在
6、直线上，其中，则的最小值为( )A B4 C D【知识点】基本不等式在最值问题中的应用E6【答案】【解析】D 解析：x=2时，y=loga11=1，函数的图象恒过定点（2，1），点A在直线mx+ny+2=0上，2mn+2=0，即2m+n=2，mn0，m0，n0，故选D【思路点拨】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可【题文】10在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 （ ）A B C D 【知识点】几何概型;椭圆的简单性质H5 K3【答案】【解析】B 解析：表示焦点在x轴上且离心率小于，它对应
7、的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为，故选B【思路点拨】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间1，5和2，4分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解【题文】11多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A B CD【知识点】三视图求表面积.G2【答案】【解析】A 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：,所以,所以,在三角形ABD中，,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和，故选A。【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状，
8、然后分别求出各个面的面积，再求和即可。【题文】12若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为 A B C D【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案】【解析】C 解析：解：曲线在点的切线斜率为，曲线在点的切线斜率为，存在使得：即，求得或2当时，（舍去）；当时，a0，如果两个曲线存在公共切线，那么，即，故答案为：。【思路点拨】分别求出两个函数的导函数，由两函数在x处的导数相等及函数值相等求得x的值，进一步求得a的取值范围题文】第II卷（非选择题，共90分）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案填在答题卡上【题文】13的展开式中的系数为 【知识点】二项式定理的
9、应用J3【答案】【解析】 解析：式子（x2x+2）5 =（x2x）+25 的展开式的通项公式为Tr+1=（x2x）5-r2r，对于（x2x）5-r，它的通项公式为Tr+1=（1）rx102rr，其中，0r5r，0r5，r、r都是自然数令102rr=3，可得，或，故x3项的系数为，故答案为：【思路点拨】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r的值，即可求得x3项的系数【题文】14若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 【知识点】双曲线的简单性质H6【答案】【解析】 解析：双曲线的焦点坐标为（c，0），（c，0），渐近线方程为，根据双曲线的对称性
10、，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，求（c，0）到的距离，又焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，b=2c，两边平方，得4b2=c2，即4（c2a2）=c2，3c2=4a2，即，。【思路点拨】因为双曲线即关于两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到的距离，再令该距离等于焦距的，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用即可求出离心率【题文】15设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是 【知识点】简单线性规划的应用E5【答案】【解析】 解析：，作出点P（x，y）满足条件的区域，如
11、图，即，且点Q（a，b）满足恒成立，只须点P（x，y）在可行域内的角点处：A（1，0），B（0，2），成立即可，即，它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为：，故答案为【思路点拨】由已知中在平面直角坐标系中，点P（x，y），则满足的点Q的坐标满足，画出满足条件的图形，即可得到点Q的轨迹围成的图形的面积【题文】16在中，若，则的最大值 【知识点】半角公式；余弦定理；最值问题.C6 C8【答案】【解析】 解析：而在中，有 ，令，两式联立可得：，易知此方程有解，故，解得，故答案为。【思路点拨】先根据已知条件利用半角公式化简可得，然后结合余弦定理得到关系式，再令，联立结合方程有解的条件即可求出最大值。【题
12、文】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤【题文】17已知数列的各项均为正数，前项和为，且（）求证数列是等差数列；（）设求【知识点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定D2 D4【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（） -得：整理得：数列的各项均为正数，时，数列是首项为公差为的等差数列 6分（）由第一问得 12分【思路点拨】（）首先由递推式求出a1，把递推式两边同时乘以2后用n1替换n，两式作差后可断定数列是等差数列；（）求出等差数列的通项公式，代入bn后运用错位相减法求数列bn的前n项和Tn【题文】18市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），
13、并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，（）求直方图中的值；（）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.K6 K8【答案】【解析】（）；（）有名学生可以申请住宿；（）。 解析：（）由直方图可得：所以 3分 （）新生上学所需时间不少于小时的频率为：， 因为，所以1200名新生中有名学生可以申请住宿
14、6分 （）的可能取值为 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，, , 10分 所以的分布列为：01234（或）所以的数学期望为 12分 【思路点拨】（）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值;（）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可;（）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望【题文】19已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值【知识点】平面与平面垂直的判定；与
15、二面角有关的立体几何综合题G5 G11【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（） 因为PA平面ABCD，所以PABD2分又ABCD为菱形，所以ACBD,所以BD平面PAC4分从而平面PBD平面PAC 6分（）方法1 过O作OHPM交PM于H，连HD因为DO平面PAC，可以推出DHPM,所以OHD为O-PM-D的平面角8分又，且10分从而11分所以，即 12分法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则, 8分从而9分因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为10分 设平面PMD的法向量为,由得取，即 11分设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得从而，即 12分【思路点
16、拨】（）根据线面垂直的判定，证明BD平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD平面PAC;（）过O作OHPM交PM于H，连HD，则OHD为APMD的平面角，利用二面角OPMD的正切值为，即可求a：b的值【题文】20已知抛物线，直线与抛物线交于两点（）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值【知识点】圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的标准方程H3 H7 H8【答案】【解析】（）；（） 解析：（）联立，消并化简整理得 依题意应有，解得设，则，设圆心，则应有因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又 所以 ，解得 所以，所以圆心为故所求圆的方程为（）
17、因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离 ， 所以 令，由上表可得的最大值为 所以当时，的面积取得最大值【思路点拨】（）抛物线y2=2px（p0）的准线为，由抛物线定义和已知条件可知，由此能求出抛物线方程, 联立，消x并化简整理得y2+8y8b=0依题意应有=64+32b0，解得b2设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8，y1y2=8b，设圆心Q（x0，y0），则应有因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=4，由此能够推导出圆的方程（）因为直线l与y轴负半轴相交，所以b0，又l与抛物线交于两点，由（）知b2
18、，所以2b0，直线l：整理得x+2y2b=0，点O到直线l的距离，所以由此能够求出AOB的面积的最大值【题文】21已知函数（）当时，判断函数的单调区间并给予证明；（）若有两个极值点，证明：【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数在某点取得极值的条件B3 B11 B12【答案】【解析】（）见解析；（）见解析。 解析：（）时，易知从而为单调减函数分（）有两个极值点，即有两个实根，所以，得，得6分又，所以8分，得10分， 12分另解：由两个实根，当时，所以单调递减且，不能满足条件当时，所以单调递减且当时，所以单调递增且，故当时，当时，当时，所以由两个实根需要即即，从而可以构造函数解决不等
19、式的证明有两个实根，不是根，所以由两个实根，当时，所以单调递减且，不能满足条件当时，所以单调递减且当时，所以单调递增且，故当时，当时，当时，所以由两个实根需要即即，从而可以构造函数解决不等式的证明【思路点拨】（）把a=1代入函数解析式，求出函数的导函数，把导函数二次求导后，求出导函数的最大值，得到导函数的最大值小于0，从而得到原函数是实数集上的减函数；（）把函数有两个极值点转化为其导函数有两个根，分离变量a后分析右侧函数的单调性，该函数先减后增有极小值，然后根据图象的交点情况得到a的范围；由x1是原函数的导函数的根，把x1代入导函数解析式，用x1表示a，然后把f（x1）的表达式中的a替换，得到
20、关于x1的函数式后再利用求导判断单调性，从而得到要征得结论【题文】请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分作答时请写清题号【题文】22（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于（）求证：；（）求证：【知识点】与圆有关的比例线段；圆周角定理N1【答案】【解析】（）见解析；（）见解析。 解析：()证明：、四点共圆2分且, ,4分5分()由()得,又,所以与相似,，7分又,，根据割线定理得，9分10分【思路点拨】（）根据A，B，C，D 四点共圆，可得ABC=CDF，AB=AC可得ABC=ACB，从而得解;
21、（）证明BADFAB，可得AB2=ADAF，因为AB=AC，所以ABAC=ADAF，再根据割线定理即可得到结论【题文】23（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值【知识点】简单曲线的极坐标方程N3【答案】【解析】（）；（）。 解析：（）曲线的极坐标方程可化为 2分又，所以曲线的直角坐标方程为4分 （）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得 6分 令，得，即点的坐标为(2，0) 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则 8分所以10分【思路
22、点拨】（）曲线C的极坐标方程可化为，又代入即可得出；（）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得，可得M点的坐标为（2，0）又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1），半径r=1，则利用即可得出|MN|的最大值【题文】24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围【知识点】绝对值不等式.N4【答案】【解析】-7x11 解析： a0，b0 且 +=(a+b)( +)=5+9，故+的最小值为9，5分因为对a，b(0，+)，使+2x-1-x+1恒成立，所以，2x-1-x+19， 7分当 x-1时，2-x9， -7x-1，当 -1x时，-3x9， -1x，当 x时，x-29， x11， -7x11 10分【思路点拨】先利用基本不等式求出+的最小值，然后结合不等式恒成立的条件即可求出x的取值范围。