1、一回归分析的基本思想及其初步应用 (15分钟30分)1.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,n)用最小二乘法建立的回归直线方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg【解析】选D.因为回归直线方程中的=0.850,所以y与x具有正的线性相关关系,A选项正确;又因为回归直线过样本点的中心(,),所以选项B正
2、确;又因为线性回归直线方程得出的值是近似值,所以选项C正确,选项D不正确.2.如表是某厂14月份用水量(单位:百吨)的一组数据:由表中数据可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是=-0.7x+a,则a=()A.5.25B.5.15C.5.2D.10.5【解析】选A.因为=2.5,=3.5,回归直线方程必过定点(,),所以3.5=-0.72.5+a,所以a=5.25.3.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如表:对于表中数据,现给出下列拟合曲线,其中拟合程度最好的是()A.y=2x-2B.y=C.y=log2xD.y=(x2-1)【解析】选D.可以代入检验
3、,残差平方和最小的拟合程度最高.4.在研究身高和体重的关系时,求得R2_,可以叙述为“身高解释了64%的体重变化,而随机误差贡献了剩余的36%”,所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多.【解析】结合相关指数的计算公式R2=1-可知,当R20.64时,身高解释了64%的体重变化.答案:0.645.高二(3)班学生每周用于数学学习的时间x(单位:h)与数学成绩y(单位:分)之间有如表所示数据:若某同学每周用于数学学习的时间为18 h,试预测该同学的数学成绩.【解析】显然学习时间与学习成绩间具有相关关系,可以列出下表,并用科学计算器进行计算.设回归方程为=x+,于是可得=3.53,=-74.9-
4、3.5317.413.5.因此可求得回归方程为=3.53x+13.5.当x=18时,=3.5318+13.577.故预测该同学可得77分.【补偿训练】某农场对单位面积化肥用量x(kg)和水稻相应产量y(kg)的关系进行了统计,得到数据如下:如果x和y之间具有线性相关关系,求出回归直线方程,并预测当单位面积化肥用量为32 kg时,水稻的产量大约是多少?(精确到0.01 kg)【解析】用列表的方法计算与回归系数.=210=30,=2 795399.3,=4.746,=399.3-4.74630=256.92,y对x的回归直线方程为=+x=256.92+4.746x,当x=32时,=256.92+4
5、.74632408.79.答:回归直线方程为=256.92+4.746x,当单位面积化肥用量为32 kg时,水稻的产量大约为408.79 kg. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某产品的宣传费用x与销售额y的统计数据如表:根据表格可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报宣传费用为6万元时,销售额为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元【解析】选B.因为=-=-9.4=9.1,所以回归方程为=9.4x+9.1.令x=6,得=9.46+9.1=65.5(万元).2.下列四个命题中正确的是()在线性回归模型中,e是bx+a预报真实值y的随机误
6、差,它是一个观测的量;残差平方和越小的模型,拟合的效果越好;用R2来刻画回归方程,R2越小,拟合的效果越好;在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,带状区域宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.A.B.C.D.【解析】选B.e是预报变量y的随机误差,故不正确;R2越接近1,拟合的效果越好,故不正确.3.若一函数模型为y=sin2+2sin +1,为将y转化为t的回归直线方程,则需作变换t等于()A.sin2B.(sin +1)2C.D.以上都不对【解析】选B.因为y是关于t的回归直线方程,实际上就是y关于t的一次函数,又因为y=(sin +1
7、)2,若令t=(sin +1)2,则可得y与t的函数关系式为y=t,此时变量y与变量t是线性相关关系.4.两个变量的散点图如图,可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是()A.y=axbB.y=a+bln xC.y=aebxD.y=a【解析】选B.由散点图知,此曲线类似对数函数型曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合.5.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据表中数据所得线性回归方程为=x+,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是()A.b,aB.b,aC.aD.b,a.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如果某地的财政收入x
8、与支出y满足线性回归方程y=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|0.5,如果今年该地区财政收入为10亿元,则年支出预计不会超过_亿元.【解析】因为当x=10时,y=0.810+2+e=10+e,又因为|e|0.5,所以y10.5.答案:10.57.已知x,y取值如表:若x,y具有线性相关关系,且回归方程为=0.95x+,则当x=10时,y的值是_.【解析】由已知=2,=4.5,而回归方程过点(,).则4.5=0.952+,所以=2.6.所以当x=10时,y=0.9510+2.6=12.1.答案:12.18.已知方程=0.85x-82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的
9、回归方程,其中x的单位是cm,的单位是kg,那么针对某个体(160,53)的残差是_.【解析】将x=160代入=0.85x-82.71,得=0.85160-82.71=53.29,所以残差=y-=53-53.29=-0.29.答案:-0.29三、解答题(每小题10分,共20分)9.关于x与y有以下数据:已知x与y线性相关,由最小二乘法得=6.5,(1)求y与x的线性回归方程.(2)现有第二个线性模型:=7x+17,且R2=0.82.若与(1)的线性模型比较,哪一个线性模型拟合效果比较好,请说明理由.【解析】(1)依题意,设y与x的线性回归方程为=6.5x+.=5,=50,因为=6.5x+经过(
10、,),所以50=6.55+,所以=17.5,所以y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5.(2)由(1)的线性模型得yi-i与yi-的关系如表:所以(yi-i)2=(-0.5)2+(-3.5)2+102+(-6.5)2+0.52=155.(yi-)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1 000.所以=1-=1-=0.845.由于=0.845,R2=0.82知R2,所以(1)的线性模型拟合效果比较好.10.某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利y(单位:元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表:已知=280,=45 309,xiyi=3 487.(1)求,;(2
11、)已知纯利y与每天销售件数x之间线性相关,求出y关于x的线性回归方程;(3)求残差平方和、相关指数.【解析】(1)=6,=79.86.(2)由于y与x有线性相关关系,可设线性回归方程为=x+,则4.75,79.86-64.75=51.36,所以y关于x的线性回归方程为=4.75x+51.36.(3)列出残差表如下:i1234567yi66697381899091i65.6170.3675.1179.8684.6189.3694.11i0.39-1.36-2.111.144.390.64-3.11所以残差平方和为0.392+(-1.36)2+(-2.11)2+1.142+4.392+0.642+
12、(-3.11)2=37.107 2.相关指数R2=1-0.944 5.1.为了考查两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t,那么下列说法正确的是()A.l1和l2有交点(s,t)B.l1与l2相交,但交点不一定是(s,t)C.l1与l2必定平行D.l1与l2必定重合【解析】选A.l1,l2都过样本点的中心(s,t),但斜率不确定.2.随着新型冠状病毒肺炎疫情好转,某地为方便市民出行,推出利用支付宝和微信扫码支付乘
13、车活动,并采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了第一周内使用扫码支付的情况,其中x(单位:天)表示活动推出的天数,y(单位:十人次)表示当天使用扫码支付的人次,整理后得到如图所示的统计表1和散点图.表1:x第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天y71220335490148由散点图分析后,可用y=作为该线路公交车使用扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程,根据表2的数据,求此回归方程,并预报第8天使用扫码支付的人次(精确到整数).表2:xiyixizi4523.51402 069112其中z=ln y,=zi.参考数据:e5.3200.34,e5.5244.69,e5.7298.87.【解析】由题意得z=ln y=ln ebx+a=bx+a,所以=0.5,所以=-=3.5-0.54=1.5,所以z关于x的线性回归方程为=0.5x+1.5,所以y关于x的回归方程为=,当x=8时,=e5.5244.69,所以第8天使用扫码支付的人次约为2 447.
