1、2020年秋季黄冈市部分普通高中协作体12月份联考高三数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知集合，则=（ ）A.B.C.D.2.复数z在复平面内对应点的点是，则复数（i是虚数单位）的虚部为（ ）A.B.C.D.3.中，“”是“”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知，则（ ）A.B.C.D.5.公差不为0的等差数列中，它的前31项的平均值是12，现从中抽走1项，余下的30项的平均值仍然是12，则抽走的项是（ ）A.B.C.D.6.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子
2、口径6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）A.98颗B.106颗C.120颗D.126颗7.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ）A.B.C.D.8.已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中
3、点，其中正确的结论为（ ）A.直线与是相交直线B.直线与是平行直线C.直线与是异面直线D.直线与所成的角为6010.已知是公比q的正项等比数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（ ）A.B.数列是等比数列C.D.数列是公差为2的等差数列11.已知函数，则（ ）A.在上单调递减B.是周期为的函数C.有对称轴D.函数在上有3个零点12.已知函数，其中正确结论的是（ ）A.当时，有最大值B.对于任意的，函数是上的增函数C.对于任意的，函数一定存在最小值D.对于任意的，都有.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，的夹角为60，则_.14.已知直线与圆相交于A、B两点，O为坐标
4、原点，且的面积为，则实数m=_.15.综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C在同一水平面的A、B两点（B在A的正西方向），在A点测得樟树根部C在西偏北30的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75的方向上，树梢D的仰角为30，则这棵樟树的高度为_米.16.四棱锥各顶点都在球心为O的球面上，且平面，底面为矩形，则球O的体积是_；设E、F分别是、中点，则平面被球O所截得的截面面积为_.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象上的各点_得到函数的图象，当时
5、，方程有解，求实数a的取值范围.在以下、中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果、都做，则按给分.向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位.18.已知等差数列的前n项和为，p，且.数列满足.（1）求p、q的值；（2）设数列的前2n项和为，证明：.19.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足，（1）求角A的大小；（2）若，的平分线交边于点T，求的长.20.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，为正三角形，平面平面，且E，F分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21.如图，点C为
6、某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线，其中P为上异于B，C的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低?请说明理由.22.已知曲线（其中e为自然对数的底数）在处的切线方程为.（1）求a，b值；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.参考答案：2020年秋季黄冈市部分普通高中协作体12月份联考高三数学试卷参考答案1.D ，2.B ，虚部为3.B 中，或，“”是“”的充分不必要条件.4.D ，.5.C ，从中抽
7、走1项，余下的20项的平均值仍然是12，则抽走的项.6.D 作出在轴截面图如图，由题意，设，则，即.则最大放入珍珠的体积一颗珍珠的体积是.由.最多可以放入珍珠126颗.7.A 设，图象如图，已知问题可以转化为图象与函数图象没有交点，数形结合可得或8.C 连接A，B与左右焦点F，的连线，由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，在三角形中，所以，即即，可得，所以椭圆的离心率9.CD 在A中，直线与是异面直线，故A错误；在B中，直线与是异面直线，故B错误；在C中，直线与是异面直线，故C正确；，是等边三角形，直线与所成的角为60，D正确10.ABC 公比q为正数，又，解得，.，.，数列是公比为
8、2的等比数列.，数列是公差为的等差数列.11.BD作出函数的图象，由图，函数在上单调递增，故A错误；，所以函数的周期为，故B正确；无对称轴，C错误，在上有3个零点，D正确12.BC 当时，易知函数在上单调递增，无最大值，故A错误，对于任意的，函数是上的增函数，当时，故，故B正确，D错误，对于任意的，易知在单调递增，当时，当时，存在，当时，函数单调递减，函数单调递增，故C正确13.2 ，.14. ，圆心O到直线的距离，即，15. 根据图形知，中，由正弦定理得，解得，在中，所以.16.n（第一空2分），（第二空3分）由题设知球心O为中点，故球O的直径，故，设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，
9、由题设球心O到平面的距离等于点B到平面的距离，在三棱锥中，由等体积法得，故截面面积为17.解：（1）故函数的最小正周期为.（2）将的图象按照变换：向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，可得的图象，当时，若方程有解，则.将的图象按照变换：纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位，可得的图象，当时，若方程有解，则.18.解：（1），解得.由得，解得.，.（2）等差数列的公差，.，解得.数列的前项和关于n递增，.19.解：（1），即为，可得，解得或（舍去） ，由，可得；（2），即为，可得，由，可得，由得，20.（1）证明：取中点G，因为F是中点，且E是的中点，则，
10、且.，且.四边形是平行四边形，又平面，平面PEB，平面.（2）解：是正三角形边为的中点，.平面平面，平面平面，平面，平面，四边形为菱形，正三角形中，以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.不妨设菱形的边长为2，则，则点，设平面的法向量为，则，即，解得，不妨令，得；又，设与平面所成角为，与平面所成角的正弦值为.21.（1）证明：由题意，所以,又，观光专线的总长度，当时，在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）解：设翻新道路的单位成本为，则总成本，.g（0） =a（，令，得，因为，所以，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，当时，取得最小值，故当时，观光专线的修建总成本最低.22.解：（1），故，解得：，故，故切线方程是：，故；（2）证明：，令，显然在递增，而，故，使得，即，则，故时，递增，时，递减，时，递增，故是唯一的极大值点，且令，则，在递增，故，综上，存在唯一的极大值点，且.