1、31.2两条直线平行与垂直的判定填一填1.两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在对应关系l1l2(两直线斜率都存在，且都不为零)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率为0l1l2图示判一判1.若两条直线斜率相等，则两直线平行()2若l1l2，则k1k2.()3若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交()4若两直线斜率都不存在，则两直线平行()5若两条不同的直线l1l2，则它们的斜率之积为1.()6若两条直线斜率不等，则这两条直线
2、不平行()7若l1的倾斜角为30，直线l1l2，则l2的倾斜角为30.()8若l1的倾斜角为30，直线l1l2，则l2的倾斜角为120.()想一想1.如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？提示：在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率一定相等；当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴2如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于1吗？若k1k21，则两条直线能否垂直？提示：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积不一定等于1，也可能它们的斜率一个是0，另一个不存在；若k1k21，则两条直线一定不垂直3判断两条直线是否平行的步骤是什
3、么？提示：4使用斜率公式判定两直线垂直的步骤是什么？提示：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论思考感悟：练一练1.已知点A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y0垂直，则m的值为()A2 B1C0 D1答案：B2已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率为()A3 B3C D.答案：B3已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k12，l1l2，则k2_.答案：4直线l1过A(2，m)和B(
4、m,4)，直线l2的斜率为2，且l1l2，则m_.答案：85已知点A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，那么下面四个结论中正确的序号为_ABCDABCDACBDACBD答案：知识点一两条直线的平行关系1.若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为1，2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：(1)若l1l2，则斜率k1k2；(2)若斜率k1k2，则l1l2；(3)若l1l2，则倾斜角12；(4)若倾斜角12，则l1l2.其中正确说法的个数是()A1 B2C3 D4解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)，(4)都可能是两条直线重合，(1)(3)正确答案：B2若过点A(2，2
5、)，B(5,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(1，m)的直线平行，则m的值为()A1 B.C2 D.解析：由kABkPQ，得，即m.故选B.答案：B知识点二两条直线的垂直关系3.有如下几种说法：两条平行直线的斜率相等；若两条不同直线l1l2，则它们的斜率互为负倒数；若一条直线的斜率为tan ，则这条直线的倾斜角为；若两条不同直线的倾斜角的正弦值相等，则这两条直线平行其中正确说法的个数是()A1 B2C3 D0解析：不正确，当两条直线斜率存在时才相等；不正确，如一条直线平行于x轴，斜率为0，另一条直线与x轴垂直，斜率不存在，但它们也垂直；不正确，需加上条件0180；不正确，如两条直线的倾斜角1
6、30，2150，虽有sin 1sin 2，但它们不平行(若正切值相等，则两条直线平行)答案：D4直线l1过A(1，m)，B(m,1)，l2过C(1,1)，D(1,0)，且l1l2，则m的值为()A3 BC3 D.解析：k1k2l1l2k1k2()1解得m答案：B知识点三直线平行与垂直关系的应用5.已知点A(2,3)，B(2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析：如图所示，易知kAB，kBC0，kCD，kAD0，kBD，kAC，所以kABkCD，kBCkAD，kABkAD0，kACkBD，故ADBC，ABCD，AB与AD
7、不垂直，BD与AC不垂直所以四边形ABCD为平行四边形答案：B6已知A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D，使直线CDAB，且CBAD.解析：设D(x，y)，则kCD，kAB3，kCB2，kAD.因为kCDkAB1，kADkCB，所以所以即D(0,1).综合知识两条直线平行与垂直的判定7.已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k23kb0的两根，若l1l2，则b_；若l1l2，则b_.解析：若l1l2，则k1k21，即1，b2；若l1l2，则k1k2，(3)242(b)0，b.答案：28已知点A(m1,2)，B(1,1)，C(3，m2m1)(1)若A，B，C三点共线，
8、求实数m的值；(2)若ABBC，求实数m的值解析：(1)因为A，B，C三点共线，且xBxC，则该直线斜率存在，则kBCkAB，即，解得m1或1或1.(2)由已知，得kBC，且xAxBm2.当m20，即m2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC0，于是ABBC；当m20，即m2时，kAB，由kABkBC1，得1.解得m3.综上，可得实数m的值为2或3.基础达标一、选择题1下列说法正确的是()A若直线l1，l2的斜率相等，则l1l2B若直线的斜率kl1kl21，则l1l2C若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1l2D若直线l1，l2的斜率存在但不相等，则l1与l2不平行解析：直线l1，l2的斜率相等
9、时，l1和l2可能重合，故A错；若kl1kl21，则l1l2，故B错；直线l1，l2的斜率都不存在时，l1，l2可能重合，故C错；故选D.答案：D2过点A(4，a)，B(5，b)的直线与直线l平行，又直线l的斜率为1，则a与b满足()Aba1Bab1Cba1 Dba1解析：依题意，kAB1，所以ba1，故选A.答案：A3下列直线中，与已知直线yx1平行，且不过第一象限的直线的方程是()A3x4y70 B4x3y70C4x3y420 D3x4y420解析：先看斜率，A、D选项中斜率为，排除掉；直线与y轴交点需在y轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合答案：B4若A(0,1)，B(，4
10、)在直线l1上，且直线l1l2，则l2的倾斜角为()A30 B30C150 D120解析：因为kl1，所以l1的倾斜角为60.因为两直线垂直，所以l2的倾斜角为6090150.故选C.5已知ABC的三个顶点坐标分别为A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，则其形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D无法判断解析：kAB，kBC2，kABkBC1，ABBC，故选A.答案：A6已知点A(2，5)，B(6,6)，点P在y轴上，且APB90，则点P的坐标为()A(0，6) B(0,7)C(0，6)或(0,7) D(6,0)或(7,0)解析：由题意可设点P的坐标为(0，y)因为APB90，
11、所以APBP，且直线AP与直线BP的斜率都存在又kAP，kBP，kAPkBP1，即1，解得y6或y7.所以点P的坐标为(0，6)或(0,7)，故选C.答案：C7过点A(0,3)，B(7,0)的直线l1与过点C(2,1)，D(3，k1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为()A. BC. D解析：因为直线l1与直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，由l1l2，而kl1，kl2k，又由kl1kl21，得k，故选C.答案：C二、填空题8已知直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是_解析：由根与系数的关系，得kl1kl21，所以l1l2.答案
12、：l1l29已知直线l1的倾斜角为45，直线l2l1，且l2过点A(2，1)和B(3，a)，则a的值为_解析：因为l2l1，且l1的倾斜角为45，所以kl2kl1tan 451，即1，所以a4.答案：410直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(1，y)，若l1l2，则x_，y_.解析：因为l1l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为，所以，所以x1，y7.答案：1711已知平行四边形ABCD中，点A(1,1)，B(2,3)，C(0，4)，则点D的坐标为_解析：设点D(x，y)，则kABkCD，kBCkAD，即，解得x3，y6，故D的坐标为(3，6)答案：(3，6)1
13、2若A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，则给出下面四个结论：ABCD，ABCD，ACBD，ACBD.其中正确结论的序号是_解析：因为kAB，kCD，kAC，kBD4，所以kABkCD，kACkBD1，所以ABCD，ACBD.答案：三、解答题13已知ABC的顶点坐标为A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，试求m的值解析：kAB，kAC，kBCm1.若ABAC，则有1，所以m7；若ABBC，则有(m1)1，所以m3；若ACBC，则有(m1)1，所以m2.综上可知，所求m的值为7，2,3.14已知直线l1经过点A(3，m)，B(m1,2)，直线l2经
14、过点C(1,2)，D(2，m2)(1)当m6时，试判断直线l1与l2的位置关系(2)若l1l2，试求m的值解析：(1)当m6时，A(3,6)，B(5,2)，C(1,2)，D(2,8)kl12，kl22，故kl1kl2此时，直线l1的方程为：y62(x3)，经验证点C不在直线l1上，从而l1l2.(2)kl2，l2的斜率存在若l1l2，当kl20时，m0，则A(3,0)，B(1,2)，此时直线l2的斜率存在，不符合题意，舍去；当kl20时，kl1，故1，解得m3或m4.综上：m3或m4.能力提升15.已知A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值解
15、析：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行，因为ABCD，所以CD与x轴不垂直，m3，m3.当AB与x轴垂直时，m32m4，解得m1，而m1时，C，D纵坐标均为1.所以CDx轴，此时ABCD，满足题意当CD与x轴垂直时，m3，即m3不满足题意当AB与x轴不垂直时，由斜率公式kAB，kCD.因为ABCD，所以kABkCD1，即1，解得m1.综上，m的值为1或1.16已知在平行四边形ABCD中， A(1,2)，B(2,1)，中心E(3,3)(1)判断平行四边形ABCD是否为正方形；(2)点P(x，y)在平行四边形ABCD的边界及内部运动，求的取值范围解析：(1)因为平行四边形的对称线互相平分，所以由中点坐标公式得C(5,4)，D(4,5)所以kAB1，kBC1.所以kABkBC1，所以ABBC，即平行四边形ABCD为矩形又|AB|，|BC|3，所以|AB|BC|，即平行四边形ABCD不是正方形(2)因为点P在矩形ABCD的边界及内部运动，所以的几何意义为直线OP的斜率作出大致图象，如图所示，由图可知kOBkOPkOA，因为kOB，kOA2，所以kOP2，所以的取值范围为.