1、高考资源网（） 您身边的高考专家22.3直线与平面平行的性质22.4平面与平面平行的性质填一填1.直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a，a，bab图形语言2.平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言，a，bab图形语言判一判1.若一条直线与平面平行，那么这条直线与这个平面内的所有直线平行()2若一条直线与平面平行，那么这条直线与这个平面内的无数条直线平行()3若一条直线与平面平行，那么这条直线与这个平面没有公共点()4若直线a不在内，则a.()5若直线l上有无数
2、个点不在平面内，则l.()6.若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的直线互相平行()7若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行()8已知两个平面平行，若有第三个平面与其中的一个平面平行，那么它与另一平面也平行()想一想1.两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？提示：不一定因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面2两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？提示：平行因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行3利用线面平行性质定理解题的步骤是什么？提示：4应用平面与平面平行性质
3、定理的基本步骤是什么？提示：思考感悟：练一练1.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EHFG，则EH与BD的位置关系是()A平行 B相交C异面 D不确定答案：A2如图，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF平面ABC，则()AEF与BC相交 BEFBCCEF与BC异面 D以上均有可能答案：B3如图所示的三棱柱ABCA1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是()A异面B平行C相交D以上均有可能答案：B4已知两个不同的平面，和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：若mn，n，则m若m，n，且m
4、，n，则m，n，则mn若，m，则m，其中正确的个数是()A1 B2C3 D4答案：A知识点一直线与平面平行的性质定理的理解1.已知直线m，n及平面，有下列关系：m，nnmmn.现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题是_解析：结合线面平行的性质定理，可知，结合线面平行的判定定理，可知.答案：或2直线a平面，内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有()A0条 B1条C0或1条 D无数条解析：与a平行的可能有0或1条答案：C知识点二平面与平面平行性质定理的理解3.设有不同的直线a，b和不同的平面，给出下列三个命题，其中正确的命题有()若a，b，则ab若a，a，则若，
5、a，则aA0个 B1个C2个 D3个解析：当a，b共面时，满足ab或a，b相交；当a，b不共面时，a与b为异面直线故不正确若a，a，则或，相交故不正确根据两平面平行的性质正确故选B.答案：B4已知直线a平面，a平面，b，则a与b()A相交 B平行C异面 D共面或异面解析：直线a，a，在平面，中必分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，am，an，mn.又，相交，m在平面内，n在平面内，m，mb，ab.故选B.答案：B知识点三直线与平面平行的性质定理的应用5.如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则()AMNPDBMNPACMNADD以上均有可能解析：四棱锥PA
6、BCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，因为MN平面PAC，平面PAC平面PADPA，所以由直线与平面平行的性质定理可得，MNPA.答案：B6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点PBB1(P不与B，B1重合)PAA1BM，PCBC1N.求证：MN平面ABCD.证明：如图，连接AC，A1C1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，且AA1CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形所以ACA1C1.因为AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC平面A1BC1.因为AC平面PAC，平面A1BC1平面PACMN，所以ACMN.因为MN平面ABCD，AC平
7、面ABCD，所以MN平面ABCD.综合知识平面与平面平行的性质定理的应用7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中过BD1的平面，分别与AA1，CC1交于M，N，则四边形BND1M的形状为_解析：由题意知，平面A1ABB1平面C1CDD1，所以MBD1N，同理，D1MBN.所以四边形BND1M是平行四边形答案：平行四边形8.如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1EC1F.求证：EF平面ABCD.解析：证明：过E作EGAB交BB1于G，连接GF，所以，B1EC1F，B1AC1B，所以，所以FGB1C1BC.又因为EGFGG，ABBCB，所
8、以平面EFG平面ABCD.又EF平面EFG，所以EF平面ABCD.综合知识线面平行、面面平行的性质定理9.四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形，ABCD，且ABCD.试问在PC上能否找到一点E，使得BE平面PAD？若能，请确定E点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由解析：在PC上取点E，使，则BE平面PAD.证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF.在梯形ABCD中，ABCD，ABCD.所以，所以.又，所以在PFC中，所以BEPF，而BE平面PAD，PF平面PAD.所以BE平面PAD.基础达标一、选择题1若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置
9、关系是()A平行 B相交C异面 D平行、相交或异面解析：作出图形，如图所示：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1ABCD.A1B与AB1，相交AA1BB1，A1B与B1C异面故选D.答案：D2如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那这条直线与另一个平面的位置关系是()A平行 B相交C在平面内 D平行或在平面内解析：由题这条直线与另一个平面平行或者直线在平面上故选D.答案：D3已知两条相交直线a，b，a平面，则b与的位置关系是()Ab平面Bb或bCb平面Db与平面相交或b平面解析：b与a相交，可确定一个平面，记为，若与平行，则b；若与不平行，则b与相交答案：D4已知平面平面，直线a，直
10、线b，则aba，b为异面直线a，b一定不相交ab或a，b异面，其中正确的是()A BC D解析：平面平面.与没有公共点直线a，直线b.a与b没有公共点即a与b一定不相交ab或a与b为异面直线选C.答案：C5.如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，EFDG，且ABDE，DG2EF，则()ABF平面ACGDBCF平面ABEDCBCFGD平面ABED平面CGF解析：取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，DE綊FM.平面ABC平面DEFG，平面ABC平面ADEBAB，平面DEFG平面ADEBDE，ABDE，ABFM.又ABDE，ABFM
11、，四边形ABFM是平行四边形，即BFAM.又BF平面ACGD，BF平面ACGD.故选A.答案：A6.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1平面AB1D1，则等于()A. B1C2 D3解析：可证AD1DC1，所以D1为A1C1中点答案：B7.如图，在三棱台A1B1C1ABC中，点D在A1B1上，且AA1BD，点M是A1B1C1内的一个动点，且有平面BDM平面A1C1CA.则动点M的轨迹是()A平面 B直线C线段，但只含1个端点 D圆解析：因为平面BDM平面A1C1CA，平面BDM平面A1B1C1DM，平面A1C1CA平面A1B1C1A1C1，所
12、以DMA1C1，过D作DEA1C1交B1C1于E，则点M的轨迹是线段DE(不包括点D)答案：C二、填空题8一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是_解析：由线面平行的性质定理可得四个交点围成的四边形为平行四边形答案：平行四边形9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_解析：因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC，因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EFAC，在正方体ABCDA
13、1B1C1D1中，AB2，AC2，所以EF.答案：10.如图，过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为_解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，平面B1D1P平面ABCDl，所以lB1D1.答案：lB1D111如图，CD，EF，AB，AB，则CD与EF的位置关系为_解析：由线面平行的性质得，ABCD，ABEF，由公理4得CDEF.答案：平行12如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，
14、C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，MN平面BDD1B1.解析：如图，取B1C1的中点P，连接NP，NH，HF，PF，则可证明平面NPFH平面BDD1B1，若MN平面NPFH，则MN平面BDD1B1.答案：MFH.(答案不唯一，如FHGEM等)三、解答题13.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，ADBC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：ECA1D.证明：因为BEAA1，AA1平面AA1D，BE平面AA1D，所以BE平面AA1D.因为BCAD，AD平面AA1D，BC平面AA1D，所以BC平面AA1D.又BE
15、BCB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以平面BCE平面AA1D.又平面A1DCE平面BCEEC，平面A1DCE平面AA1DA1D，所以ECA1D.14.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD平面PBCl.(1)求证：BCl.(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论解析：证明：(1)在ABCD中，BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又平面PAD平面PBCl，且BC平面PBC，所以BCl.(2)MN平面PAD.证明如下：取PD中点E，连接AE，NE.因为N是PC的中点，所以NE綊CD，又M为AB的中点，所以AM綊DC
16、，所以AM綊NE，所以四边形AMNE为平行四边形，所以AEMN.又因为AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.能力提升15.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH；(2)若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围解析：(1)证明：四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB，AB平面EFGH，EF平面EFGH.AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH.(2)设EFx(0x4)，四边形EFGH为平行四边
17、形，则1.FG6x.四边形EFGH的周长l212x.又0x4，8l12，四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)16如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点(1)求证：PQ平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF平面BB1D1D.解析：(1)法一如图，连接AC，CD1.因为P，Q分别是AD1，AC的中点，所以PQCD1.又PQ平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，所以PQ平面DCC1D1.法二取AD的中点G，连接PG，GQ，则有PGDD1，GQDC，且PGGQG，所以平面PGQ平面DCC1D1.又PQ平面PGQ，所以PQ平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQD1Ca.(3)法一取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1綊B1C1.又BE綊B1C1，所以BE綊FO1.所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EFBO1，又EF平面BB1D1D，BO1平面BB1D1D，所以EF平面BB1D1D.法二取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1B1D1，EE1BB1，且FE1EE1E1，所以平面EE1F平面BB1D1D.又EF平面EE1F，所以EF平面BB1D1D.- 12 - 版权所有高考资源网
