1、高考资源网（） 您身边的高考专家唐山市20192020学年度高三年级摸底考试文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念，即可得出结果.2.已知，是关于的方程的一个根，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由是关于的方程的一个根，代入方程化简得，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【详解】依题意，复数是关于的方程的一个根，可得，即：，所以，解得，所以，故
2、选A.【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知为等差数列的前项和，则公差( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，由求出，进而可得出结果.【详解】因为为等差数列的前项和，所以，即，因此，所以.故选C【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的求和公式与通项公式即可，属于常考题型.4.已知，则，大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的单调性，分别求得的范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的单调性，可得，即，即，即，所以，故选D.
3、【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，得到，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；当时，则0，所以函数在上递增，排除A，故选.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力
4、，属于基础题.6.双曲线的右焦点为，点为的一条渐近线上的点，为坐标原点.若，则 ( )A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，以及右焦点坐标，再由，求出点坐标，进而可求出三角形面积.【详解】因为双曲线方程为，所以其渐近线方程为，右焦点为，因为点为的一条渐近线上的点，不妨设点在上，且点在第一象限；又，所以为等腰三角形，所以点横坐标为，因此，所以.故选C【点睛】本题主要考查双曲线中的三角形面积问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型.7.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意得到，再两边同时平方，根据同角三角函数基本关
5、系，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此，所以，即，所以故选D【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.8.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为和.在此图内任取一点，此点取自区域的概率记为，取自区域的概率记为，则（）A. B. C. D. 与的大小关系与半径长度有关【答案】C【解析】【分析】利用圆面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分的面积阴影部分的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，阴影部分M的
6、面积为：，阴影部分的面积阴影部分的面积，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.下图是判断输入的年份是否是闰年的程序框图，若先后输入，则输出的结果分别是（注：表示除以的余数）（）A. 是闰年，是闰年B. 是闰年，是平年C. 是平年，是闰年D. 是平年，是平年【答案】C【解析】【分析】由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，输入时，输出是平年，输入时，输出是润年，故选【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答
7、中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.将函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到的图像，则下列说法正确的是( )A. 的最小正周期为B. 是的一个对称中心C. 是的一条对称轴D. 在上单调递增【答案】B【解析】【分析】先由题意得到的解析式，根据余弦函数的性质，即可得出结果.【详解】因为将函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到的图像，所以，所以的最小正周期为，A错；由得，因此的对称中心为，B正确；由得，因此的对称轴为，C错；由得，所以的单调递增区间为，D错.故选B【点睛】本题主要考查判断平移后的函数性质，熟记余弦函数的图像与性质即可
8、，属于常考题型.11.已知为数列的前项和，则数列( )A. 有最大项也有最小项B. 有最大项无最小项C. 无最大项有最小项D. 无最大项也无最小项【答案】A【解析】【分析】先由，得到，两式作差，得到数列是以为公比的等比数列；求出，分别讨论为奇数和为偶数两种情况，即可得出结果.【详解】因为为数列的前项和，所以，两式作差，得，设，数列是以为公比的等比数列；又，所以，,所以，当为奇数时，单调递减，有最大值；且；当为偶数时，单调递增，有最小值；且；因此，数列有最大值；有最小值.故选A【点睛】本题主要考查等比数列的前项和的最值问题，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.12.已知三棱锥四个
9、顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理可知，从而求得；根据棱锥体积公式可知，若三棱锥体积最大,则可得点到平面的最大距离，在中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径，代入球的表面积公式可求得结果.【详解】， 如下图所示：若三棱锥体积最大值为，则点到平面最大距离：即：设球的半径为，则在中：，解得：球的表面积：故选【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离，根据外接球的性质可确定球心的大致位置，通过勾股定理构造关于半径的方程求得外接球半径.
10、二、填空题。13.已知，且，则向量的坐标是_.【答案】 或【解析】【分析】先设，根据题中条件，列出方程组，求解，即可得出结果.【详解】设，因为，且，所以，解得或，因此向量的坐标是 或.故答案为 或【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.14.若满足约束条件，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为直线，当直线过点C时，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单
11、线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题15.已知直线过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，则该椭圆的离心率是_.【答案】【解析】【分析】先由题意求出，再设，根据，结合题意求出点，代入椭圆方程，求出，进而可得出结果.【详解】因为直线过椭圆的左焦点，所以，设，因为，由题意可得，所以，又在直线上，所以，即，由题意可得，解得，所以离心率为.故答案为【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.16.已知函数，若恒成立，则的取值范围
12、是_.【答案】【解析】【分析】先由的图像与的图像可得，恒成立；原问题即可转化为直线介于与之间，作出其大致图像，由图像得到只需；根据导数的方法求出，所在直线斜率，进而可得出结果.【详解】由的图像与的图像可得，恒成立；所以若恒成立，只需，即直线介于与之间，作出其大致图像如下：由图像可得，只需；设，由得，所以，所以曲线在点处的切线的方程为，又该切线过点，所以，解得，所以；设，由得，所以，所以曲线在点处的切线的方程为，又该切线过点，所以，解得，所以；所以.故答案为【点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算
13、步骤. 17.某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：所得分数低于60分60分到79分不低于80分分流方向淘汰出局复赛待选直接晋级（1）通过茎叶图比较两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流，根据所得分数，估计两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大，并说明理由.【答案】(1)选手所得分数的平均值高于选手所得分数的平均值；选手所得分数比较集中，选手所得分数比较分散(2) 选手直接晋级的概率更大理由见解析【解析】【分析】（1）根据茎叶图中数据的分
14、布特征，可直接得出结论；（2）用表示事件“选手直接晋级”，表示事件“选手直接晋级”，根据茎叶图中的数据，计算概率，即可得出结果.【详解】（1）通过茎叶图可以看出，选手所得分数的平均值高于选手所得分数的平均值；选手所得分数比较集中，选手所得分数比较分散 （2）选手直接晋级的概率更大用表示事件“选手直接晋级”，表示事件“选手直接晋级”由茎叶图得的估计值为 ，的估计值为 ，所以，选手直接晋级的概率更大【点睛】本题主要考查茎叶图的特征，以及古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.18.的内角的对边分别为，已知的面积（1）证明：；（2）若，求.【答案】(1)证明见解析；(2) 2【解析】【
15、分析】（1）由三角形面积公式，结合题意，得到，化简整理即可得出结论成立；（2）由（1）的结论，结合（2）中数据，得到，再由余弦定理得到，解方程，即可求出结果.【详解】（1）由得 因为，所以，又因为，所以 ，因此（2）由（1）得，所以由余弦定理得，所以，解得 因此，即由（1）得，所以 ，故【点睛】本题主要考查解三角形，熟记同角三角函数基本关系，以及余弦定理即可，属于常考题型.19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点.（1）求证：平面 ；（2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）连接交于，连接，根据线面平行的判定定理，即可
16、证明结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理得到平面，再得到平面，从而可得即为直线与平面所成的角，设，在中，列式求出，再由棱锥的体积公式，即可得出结果.【详解】（1）连接交于，连接由题意可知，又平面，平面，平面 （2）由底面，得，又由题意可知，且平面，则 由，则，且，平面，所以即为直线与平面所成的角设，在中，则，解得 四棱锥体积【点睛】本题主要考查线面平行的判定，以及由线面角求其它量的问题，熟记线面平行、线面垂直的判定定理，以及棱锥的体积公式即可，属于常考题型.20.已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点。（1）为坐标原点，求；（2）为上一点，为的重心（三边中线的交点），求。【答案】(1)-32；
17、(2) 或【解析】【分析】（1）先设，将 的方程代入抛物线的方程，根据韦达定理，以及向量数量积的运算，即可得出结果；（2）先由题意得到 ，设，根据为的重心，得到 ，由（1）的结果表示出，再代入抛物线方程，即可求出结果.【详解】（1）设 ，将 的方程代入得： ，所以，即 ，从而 （2）依题意得 ，设，因为为的重心，所以 ，从而，因为在抛物线上，所以，即 故或【点睛】本题主要考查抛物线中的定值问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，以及抛物线的方程求解，属于常考题型.21.已知函数，且曲线与直线相切于点，（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1
18、）先由题意得到，求出，再对函数求导，根据求出，从而可得到解析式；（2）先令 ，先由题意确定，再由函数奇偶性的概念，易得到为偶函数，因此只需时，；对函数求导，分别讨论，两种情况，用导数的方法研究其单调性，最值等，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：，解得 ，由得 所以 （2）令 ，由得，所以显然为偶函数，所以只需时，当时，即在上单调递增，所以，从而时，成立当时，因为在上单调递增，又时，；时， ，所以存在，使得，因此时，即在上单调递减，所以时，与矛盾，因此时不成立综上，满足题设的的取值范围是【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考
19、题型.22.在极坐标系中，圆.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线经过点且倾斜角为.求圆的直角坐标方程和直线的参数方程；已知直线与圆交与，满足为的中点，求.【答案】（1），(为参数，).（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；将直线的方程代入圆的方程，利用根与系数的关系，求得，由为的中点，得到，求得，即可求得的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆，可得，因为，所以，即，根据直线参数方程的形式，可得直线:，(为参数，).设对应的参数分别为，将直线的方程代入，整
20、理得，所以，又为的中点，所以，因此，所以，即，因为，所以，从而，即.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23.设函数.画出的图像；若，求的最小值.【答案】（1）画图见解析（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，可得分段函数的解析式，进而作出函数的图象；（2）由不等式，可得，解得，再由绝对值的三角不等式，求得当且仅当，且时，成立，即可求解的最小值.【详解】（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数，所以的图象如图所示：（2）由，可得，解得，又因为，所以.()若，()式明显成立；若，则当时，()式不成立，由图可知，当，且时，可得，所以当且仅当，且时，成立，因此的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义及应用，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号，以及合理利用绝对值不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.高考资源网版权所有，侵权必究！
