1、河北省武邑中学2018届高三上学期第五次调研考试数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，则，.故选B.2. 已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】设，由，得，即，则，即在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.3. 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织
2、一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）A. 10 日 B. 20 日 C. 30 日 D. 40 日【答案】C【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列，设其公差为，则，故选C.4. 网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是最某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图，可知该几何体是如图所示的四面体，其中底面和侧面是底边为的等腰直角三角形，侧面均为以为底边的等腰三角形，取的中点，连接，则，则该四面体的表面积为.故选A.5. 已知函数，规定区间，对任意，当时，总有，则
3、下列区间可作为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，得函数在区间上单调递增，由，得或，若时，当增大时，减小，增大，即为函数的单调递增区间，而，所以可作为.故选D.点睛：本题以新定义的形式考查复合函数的单调性.在考查函数的单调性往往以一种新的说法进行描述，如本题中规定区间，对任意，当时，总有，即函数在该区间上单调递增，又如对任意，总有，即函数在该区间上单调递增.6. 下列选项中，说法正确的是（ ）A. 命题 “”的否定是“”B. 命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C. 命题“若，则”是假命题D. 命题“在中，若，则”的逆否命题为真命题【答案】C【解析】A命题“”的否
4、定是 故选项错误。B命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，故选项错误。C命题“若，当m=0时，a,b的关系是任意的。故是假命题。选项正确。D命题“在中，若，则”的逆否命题为，若 则 .故选项错误。故答案为C.7. 3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大学毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为（ ）A. 60 B. 36 C. 24 D. 42【答案】A【解析】当4名大学毕业都被选聘上，则有种不同的选聘方法，当4名大学毕业生有3位被选聘上，则有种不同的选聘方法，由分类加法计数原理，得不同的选聘方法种数为.故选A.8. 若实数满足不等式组，若目标函数
5、的最大值为1，则实数的值是（ ）A. B. 3 C. D. 1【答案】D【解析】将化为，作出可行域（显然）和目标函数基准直线，当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即减小，由图象，得直线过点时，取得最大值，即，即，解得或（舍）.故选D.9. 执行如图所示的程序框图，若输入，输出的，则空白判断框内应填的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由程序框图，得程序运行过程为：；因为输出的结果为，所以判断框内应填“”.故选B.10. 已知函数，的部分图像如图所示，分别为该图像的最高点和最低点，点垂轴于，的坐标为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】过作轴，设，由图
6、象，得，即 ，因为，所以，则，即，又是图象的最高点，所以，又因为，所以，则.故选B.11. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】D【解析】由双曲线的定义，得，则， 点睛：本题考查双曲线的定义、余弦定理的应用；在处理椭圆或双曲线中涉及曲线上的动点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行求解，如本题中利用双曲线的定义得到，减少了复杂的计算过程.12. 函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，若有三个零点，则实数的取值集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为函数是定义在上的
7、奇函数，且当时，故当时，所以函数的部分图象如图所示，有三个零点，即函数和函数的图象有三个交点，当直线与函数的图象在上相切时，即有2个相等的实根，则，即，当直线与函数的图象在上相切时，即有2个相等的实根，则，即，由图象，得有三个零点，则，即实数的集合为；因为为奇函数，且为偶函数，所以，即，即函数的周期为4，所以实数的取值集合是.故选C.点睛：本题考查函数的零点、函数的对称轴和周期性；本题的易错点是利用函数为偶函数正确得到函数的对称性，要注意判定奇偶性的自变量是，由为偶函数得到，而不是.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若等比数列的前5项的乘积为1，则数
8、列的公比为_【答案】2【解析】由等比数列的性质可得：，结合：有：.即数列的公比为2.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混14. 若，则的值_【答案】【解析】令，得，令，得，则.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或.15. 欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，
9、而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 的圆面，中间有边长为的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体(油滴是直径为0.2的球）正好落入孔中的概率是_【答案】【解析】因为直径为的圆中有边长为的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入空中”的概率为.16. 四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_【答案】【解析】三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设向量，其中，且函数.（1）求的最小正周期；(2)设函数，求在上的零点.【答案】(1)；(2) 和.【
10、解析】试题分析：（1）由题意，可化简得，即可计算函数的最小正周期；（2）由题意知，化简得，由得，求得方程的根，即可得到函数的零点.试题解析:（1），函数的最小正周期为.（2）由题意知，由得，当时，或，即或.函数在上的零点是和.18. 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）令 设数列的前项和，求.【答案】(1)，.(2).【解析】试题分析：（1）设数列an的公差为，数列的公式为，得解出即可得出（2）由，得，可得n为奇数，为偶数时，可得，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出试题解析：（1）设数列的公差为，数列的公比为，由，得解得，（2）由，得，则为奇数时，
11、为偶数时，19. 甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包， 每个红包金额为元，.已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示.（1）求的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在的红包个数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，求出的值，再根据众数的定义即可求出；（2）由题意可得到满足二项式分布，可根据要求分别求出取各个值时的概率，即可得到的分布列，根据分布列即可求出的期望试题解析：（1
12、）由题可得：，众数为（2）由频率分布直方图可得，红包金额在的概率为，则的取值为，的分布列为X0123P（或）考点：1离散型的随机变量及概率分布列；2数学期望的求解20. 如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且平面平面，为中点，.（1）求证:平面平面；(2)若二面角的平面角大小满足，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】试题分析：（）由正三角形性质可得，再利用面面垂直的性质定理得平面，从而，则 ，由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得平面；（）建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量以及平面的法向量，根据二面角的平面角大余弦值列方程求出，利用棱锥的体积公式可
13、得结果.试题解析：（）取中点为，中点为，由侧面为正三角形，且平面平面知平面，故，又，则平面，所以，又，则，又是中点，则，由线面垂直的判定定理知平面，又平面，故平面平面.（）如图所示，建立空间直角坐标系，令，则.由（）知为平面的法向量，令为平面的法向量，由于均与垂直，故即解得故，由 ，解得.故四棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量
14、；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21. 椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得，则椭圆C的标准方程为. (2)由题意可得，结合题意可得圆的方程为，则以线段ST为直径的圆恒过定点. 试题解析：（1）解：，又，联立解得：，所以椭圆C的标准方程为. （2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的
15、方程为，联立得. ，整理得：，故，又，(分别为直线PA，PB的斜率)，所以，所以直线PB的方程为：，联立得，所以以ST为直径的圆的方程为：，令，解得：，所以以线段ST为直径的圆恒过定点. 22. 设函数，其中为自然对数的底数.（1）若曲线在轴上的截距为，且在点处的切线垂直于直线，求实数的值；（2）记的导函数为，在区间上的最小值为，求的最大值.【答案】(1)的值分别为1，；(2).【解析】试题分析：(1)先利用曲线在轴上的截距为求得，再求导，利用导数的几何意义进行求解；(2)连续求导，得到，再通过分类讨论思想讨论的取值，研究函数在区间的单调性和最小值，得到分段函数，则通过求导确定的最小值.试题解析：（1）曲线在轴上的截距为，则过点，代入，则，则，求导，由，即，则，实数的值分别为1，；（2），当时，恒成立，即，在上单调递增，.当时，恒成立，即，在单调递减，.当时，得，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，当时，求导，由时，单调通减，当时，单调递减，的最大值.
