1、第一章单元质量评估(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1下列命题中正确的是(B)A由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B棱锥的高线可能在几何体之外C仅有一组对面平行的六面体是棱台 D有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥解析：由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D不正确故选B.2用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可
2、以使截面是圆，则这个几何体可以是(C)A棱柱 B棱台 C圆柱 D球3若一个底面为正三角形的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(B)A12 B36 C27 D6解析：由三视图可知该几何体为正三棱柱，棱柱的高为4，底面正三角形的高为3，所以底面边长为6，所以几何体的体积为62436，选B.4已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是(D)A若，垂直于同一平面，则与平行 B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于
3、同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确故选D.5“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如左图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是(A)Aa，b
4、 Ba，c Cc，b Db，d解析：主视图和左视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实的对角线，故选A.6直线l1l2，在l1上取3个点，l2上取2个点，由这5个点所确定的平面个数为(D)A9个 B6个 C3个 D1个解析：因为l1l2，所以l1，l2确定唯一平面，所以5个点均在该平面内7已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是(A)A30 B60 C30135 D135解析：由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为，则这个直棱柱的侧面积为4530.8在直三棱柱ABCA1B1C1中
5、，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(C)A30 B45 C60 D90解析：本题可借助正方体模型求解，如图，BA1与AC1所成的角即为BA1与BD1所成的角在A1BD1中，A1BA1D1BD1.BA1与BD1所成角为60.9正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是(D)A三角形 B四边形 C五边形 D六边形解析：如图，取C1D1的中点E，连接RE，RE綊PQ.P，Q，R，E共面再取BB1，DD1的中点F，G.PFAB1QR且GEC1DQR，E，G，F，P，Q，R共面截面图形为六边形10已知一个多
6、面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为(C)A18 B12 C6 D12解析：连接球心与多面体的各个顶点，把多面体分成了高为1的多个棱锥多个棱锥的底面积之和SS1S2Sn18.所以该多面体的体积为VS11S21Sn1(S1S2Sn)16.11如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，BB1BC6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF3，则多面体BB1C1CEF的体积为(A)A30 B18 C15 D12解析：VBB1C1CEFVABCA1B1C1VFA1B1C1VEABCSABC6SABCA1FSABCAESABC5SABC.ACAB，BC6，SABC66.V
7、BB1C1CEF5630.12如图所示，在正三棱锥SABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MNAM，若侧棱SA2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是(C)A12 B32 C36 D48解析：因为M，N分别为SC，BC的中点，所以MNBS.因为MNAM，所以SBAM.又SBAC，AMACA，所以SB平面ASC，所以侧面三角形为等腰直角三角形，又SASBSC2，设外接球半径为R，则(2R)2(2)2(2)2(2)2，即R3，所以S球4R236.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为3.解析：此棱锥底面是边长为3
8、的正方形，高为1，所以体积为3213.14如图所示，扇形的圆心角为90，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为11.解析：设扇形所在圆的半径为R，RtAOB绕OA旋转一周形成圆锥，其体积V1R3，扇形绕OA旋转一周形成半球，半球的体积VR3，V2VV1R3R3R3.V1V211.15一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为.解析：设球的半径为R，六棱柱的底面边长为a，高为h，显然有 R，且解得所以R1，则V球R3.16如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱
9、长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题是真命题的有.(写出所有真命题的序号)当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；当CQ1时，S为六边形；当CQ1时，S的面积为.解析：设截面与直线DD1相交于T，则ATPQ，且AT2PQ，DT2CQ.对于，当0CQ时，则0DT1，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以正确对于，当CQ时，DT1，T与D1重合，截面S为四边形APQD1，所以APD1Q，截面为等腰梯形，所以正确对于，当CQ时，QC1，DT，D1T，利用三角形相似，解得C1R，所以正确
10、对于，当CQ1时，DT2，截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以截面S为五边形，所以错误对于，当CQ1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于其中点G，即截面为菱形APC1G，对角线长度为和，S的面积为，所以正确综上，真命题为.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45，求这个圆台的高、母线长和底面半径解：作出圆台的轴截面如图设OAr，因为一底面周长是另一底面周长的3倍，所以OA3r，SAr，SA3r，OO2r.由轴截面的面积为(2r6r)2r392，得r
11、7.故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14.18(12分)一个几何体的三视图如图所示，已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，AA12，四边形ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S2(11112)62.19(12分)如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是
12、BC，CC1的中点(1)证明：BN平面AMB1；(2)求三棱锥BAB1N的体积解：(1)证明：在正三棱柱ABCA1B1C1中，M是BC的中点，ABC是正三角形，AMBC.平面ABC平面BB1C1C，且其交线是BC，AM平面BB1C1C.BN平面BB1C1C，AMBN.如图所示，在正方形BB1C1C中，M，N分别为BC，C1C的中点，RtMB1BRtNBC，NBCMB1B，BMB1CNB，NBCBMB190，BNB1M.又AMB1MM，BN平面AMB1.20(12分)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和点F分别是BC，A1C的中点(1)求证：EF
13、平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小解：(1)证明：如图，连接A1B.在A1BC中，因为E和F分别是BC，A1C的中点，所以EFBA1.又因为EF 平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)证明：因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC.因为AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC.所以BB1AE.因为BCBB1B，所以AE平面BCB1.又因为AE平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别是B1C和BC的中点，所以NEBB1，
14、NEBB1.所以NEAA1，NEAA1，所以四边形AA1NE是平行四边形，所以A1NAE，A1NAE.又因为AE平面BCB1，所以A1N平面BCB1，所以A1B1N就是直线A1B1与平面BCB1所成的角在ABC中，得AE2，所以A1NAE2.因为BMAA1，BMAA1，所以四边形AA1MB是平行四边形，所以A1MAB，A1MAB.又由ABBB1，得A1MBB1.在RtA1MB1中，A1B14.在RtA1NB1中，sinA1B1N，因此A1B1N30.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30.21(12分)如图1，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点如图2，将A
15、BE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点(1)求证：AEBD；(2)求证：平面PEF平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由解：(1)证明：如图，取AE中点M，连接BM，DM.在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点，ABE与ADE都是等边三角形，BMAE，DMAE.BMDMM，BM，DM平面BDM，AE平面BDM.BD平面BDM，AEBD.(2)证明：连接CM，EF，交于点N，连接PN，MF，MEFC，且MEFC，四边形MECF是平行四边形，N是线段CM的中点P是线段BC的中点，PNBM.BM
16、平面AECD，PN平面AECD.PN平面PEF，平面PEF平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直理由：假设DE平面ABC，则DEAB.BM平面AECD，BMDE.ABBMB，AB，BM平面ABE，DE平面ABE.DEAE，这与AED60矛盾，DE与平面ABC不垂直22(12分)已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF上一点，且AMFNx，设ABa.(1)求证：MN平面CBE.(2)求证：MNAB.(3)当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值解：(1)证明：如图，在平面ABCD中，作MGAB，在平面BFE中，作NHEF，连接GH.因为AMFN，所以MCNB，因为，所以MG綊NH，所以四边形MNHG为平行四边形，所以MNGH，又因为GH平面CBE，MN平面BEC，所以MN平面CBE.(2)证明：因为ABBC，ABBE，BCBEB，所以AB平面CBE，因为GH平面CBE，所以ABGH，因为MNGH，所以MNAB.(3)因为平面ABCD平面ABEF，所以BE平面ABCD，所以BEBC.因为BG，BH，所以MNGH(0xa)a，当且仅当xa时，等号成立，所以当xa时，MN取最小值a.