1、（16）抛物线的简单几何性质1.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，.若为的准线上一点，则的面积为( )A.18B.24C.36D.482.设F为抛物线的焦点,M为抛物线C上的一点,O为坐标原点,若为等腰三角形,则的周长为( )A.4B.C.或4D.或43.已知点P为抛物线上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与x轴平行,若同时与直线l、直线轴相切且位于直线左侧的圆与x轴相切于点Q,则( )A.点Q位于原点的左侧B.点Q与原点重合C.点Q位于原点的右侧D.以上均有可能4.如图,已知直线与抛物线交于两点,且两点在抛物线C的准线上的射影分别是点,若,则实数k的值是( )A.B.
2、C.D.5.抛物线的焦点为F，准线为是抛物线上的两个动点，且满足为线段的中点，设P在上的射影为Q，则的最大值是( )A.B.C.D.6.设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为( )ABCD7.设O为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则C的焦点坐标为（ ）A.B.C.D.8.一动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此圆过定点( )A. B. C. D. 9.若点是抛物线上一点,且点到焦点的距离是到轴距离的2倍,则( )A.B.C.1D.210.已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为M，则的最大值为( )A1B2C-
3、1D811.已知定点与抛物线上的点P之间的距离为,点P到该抛物线准线的距离为,则当取最小值时,点P的坐标为_.12.已知点A是抛物线上一点,焦点为F,若以F为圆心,以为半径的圆交准线于两点,且为正三角形,若的面积为,则抛物线的方程为_.13.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线所得弦长为，则抛物线方程为_.14.一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则_.15.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.1.若，求点的坐标；2.求线段长的最小值.答案以及解析1.答案：C解析：不妨设抛物线的方程为，由，得.则.故选C2.答案：D解析：若,即M在直
4、线上,得,所以的周长;若,设,则,解得,得,所以,所以的周长.故选D.3.答案：B解析：如图,记直线与直线轴的交代分别为为相应切点.由抛物线的定义知,由切线性质知,于是.又,所以.又,所以坐标原点O与点Q重合.4.答案：C解析：设,则由,得.由,解得或(不合题意,舍去),所以.又直线过定点,所以.故选C.5.答案：C解析：设，在上的射影分别为，则， 故.又，所以.因为，所以，当且仅当时等号成立.故，故选C.6.答案：B解析：通解 联立抛物线方程与直线方程，可得点，或，.，即，抛物线的方程为，其焦点坐标为，故选B.秒解 根据抛物线的对称性可知或，代入抛物线方程，得，抛物线的方程为，其焦点坐标为，
5、故选B.7.答案：B解析：将直线方程与抛物线方程联立，可得，不妨设，由，可得，解得，所以抛物线的方程为，其焦点坐标为.8.答案：B解析：由抛物线,得到准线方程为,焦点坐标为，动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，动圆必经过定点.故选B9.答案：C解析：抛物线的准线方程为.点到焦点的距离等于点到准线的距离，则，解得,所以.10.答案：A解析：因为的圆心所以，可得以为焦点的抛物线方程为，由，解得，抛物线的焦点为，准线方程为，即有，当且仅当在之间)三点共线，可得最大值1.11.答案：解析：由抛物线,知其焦点.连接,则可转化为.易知当且仅当三点共线(点P在线段上)时,取得最小值.由,解得或(舍去)
6、.故所求点P的坐标为.12.答案：解析：如图所示,由题意可得,由抛物线的定义,知点A到准线的距离也为.的面积为,抛物线的标准方程为.13.答案：或解析：设所求抛物线方程为，已知直线变形为，设抛物线截直线所得弦长为，联立消去y得，整理得，所以，解得或.，解得或，所以所求抛物线方程为或.14.答案：解析：设正三角形的边长为x，则，解得.当时，将代入得，当时，将代入得.故.15.答案：1.由得，其准线方程为，焦点.设.由抛物线的定义可知，从而.代入，解得.故点的坐标为或.2.当直线的斜率存在时，设直线的方程为.与抛物线方程联立消去y整理得，因为直线与抛物线相交于两点，所以，则.由抛物线的定义可知，.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与抛物线相交于点，此时，所以,即线段长的最小值为4.解析：