1、甘肃省白银市会宁县第二中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出导函数，再代入可求得值.【详解】因为,解得，故选：A.【点睛】本题考查导函数的计算，关键在于正确地求出函数的导函数，注意复合函数的导函数的求解，属于基础题.2.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可
2、由点斜式求的切线方程.【详解】曲线，即，当时，代入可得，所以切点坐标为，求得导函数可得，由导数几何意义可知，由点斜式可得切线方程为，即，故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.3.下列推理是类比推理的是（ ）A. ，为定点，动点满足，则点的轨迹为椭圆B. 由，求出，猜想出数列的前项和的表达式C. 由圆的面积，猜想出椭圆的面积D. 以上均不正确【答案】C【解析】A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求C选项由圆x2+y2=r2的面积S=r2，猜想出椭圆 的面积S=ab，用
3、的是类比推理，不符合要求本题选择C选项.点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误4.有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值；己知函数在上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（ ）A. 大前提错误，结论错误B. 小前提错误，结论错误C. 推理形式错误，结论错误D. 该段演绎推理正确，结论正确【答案】A【解析】大前提是：“若函数图象在区间上是一
4、条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当附近的导函数值异号时，那么 是函数的极值点，大前提错误，导致结论错误，故选A5.设函数，则等于（ ）A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】D【解析】，.故选D.6.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）A. 岁B.
5、 岁C. 岁D. 岁【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到数列是等差数列，由，求得数列的首项，即可得到答案【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为，由题可知是等差数列，设公差为，则，又由，即，解得，即这位公公的长儿的年龄为岁故选C【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题7.如图，两曲线与所围成的图形面积是（ ）A. 6B. 9C. 12D. 3【答案】B【解析】【分析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.【详解】由得或故两曲线所围成的阴影部分的面积故选：B.【
6、点睛】本题考查利用定积分求解曲边梯形的面积，属中档题.8.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，上恒成立，分离常数得在上恒成立，只需，利用三角函数值域，即可求解.【详解】因为在上单调递增，所以恒成立，即.令，又，即，所以.故选:C.【点睛】本题以函数的单调性为背景，考查不等式恒成立求参数的范围，分离常数是解题的关键，转化为求三角函数的最值，属于中档题.9.如图是导函数的图象，在标记的点( )处，函数有极大值( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导函数的图象，利用极值点的定义求解.【详解】如图所示：当时，当时，
7、当时，所以当时，函数有极大值.故选：B【点睛】本题主要考查函数的极值点，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10.设为正实数，函数，若，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，求导，由为正实数，得到在上单调性，再根据 ，成立，由求解.【详解】因为，所以，因为为正实数，所以当或时，当时，所以在上递减，所以，因为，成立，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（ ）A. B. C. D.
8、【答案】D【解析】【分析】把用替换后两者比较可知增加的式子【详解】当时，左边，当时，左边，所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础从到时，式子的变化是数学归纳法的关键12.设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增原不等式等价为F（lnx）F（），运用单调性，可得lnx，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集【详解】可构造函数F（x）=，F（x）=，由f（x）2f（x），可得F（x）0，即有F（x）在R
9、上递增不等式f（lnx）x2即为1，（x0），即1，x0即有F（）=1，即为F（lnx）F（），由F（x）在R上递增，可得lnx，解得0x故不等式的解集为（0，），故选B【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13._.【答案】【解析】【分析】将，转化为，再利用定积分的几何意义及函数的奇偶性求解.【详解】，因为表示以原点为圆心，1为半径的圆的半圆面积，所以，令，因为，所以为奇函数，所以，而，所以.故答案为
10、：【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和几何意义求定积分，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14.观察下列式子，根据上述规律，第个不等式应该为_【答案】【解析】【分析】根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，则有，对于第二个不等式，则有，对于第三个不等式，则有，依此类推：第个不等式为：，故答案为【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律15.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部
11、移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则_，_. 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据移动方法和规律发现，随着盘子的数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动辅助柱上，然后把最大的盘子移动到目标柱上，再用同样的次数从辅助柱移动到目标柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解.【详解】将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，当时，当时，小盘移动到辅助柱，大盘移动到目标柱
12、，小盘从辅助柱移动到目标柱，完成，所以，当时，小盘移动到目标柱，中盘移动到辅助柱，小盘从目标柱移动辅助柱，即用种方法把中，小盘移动到辅助柱，然后大盘从起始柱移动到目标柱，再用种方法把中，小盘从辅助柱移动到目标柱.所以的方法，依次类推，故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查合情推理和演绎推理，还考查了逻辑辨析推理的能力，属于中档题.16.已知函数，则的单调递减区间为_.【答案】【解析】【分析】根据的解析式，求出，再根据导函数求出，再利用导数来判断的减区间即可.【详解】由题意，所以，故，所以，解得，故，即，解得，故的单调递减区间为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数值的求法、利用导数研
13、究函数的单调性，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17.请在综合法，分析法，反证法中选择两种不同的方法证明：（1）如果，则；（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用分析法和综合法，结合基本不等式即可得证；（2）运用分析法，考虑移项和平方，可得证明；运用分子有理化和不等式的性质，即可得证【详解】（1）方法一、（综合法）因为，所以，所以.因为，所以.方法二、（分析法）要证，即为，即证，由0，上式显然成立，则原不等式成立；（2）方法一（分析法）要证，即证，即证.即证，即证，即证.因为，所以成立.由上述分析可知
14、成立.方法二、由2，且3，由2，3，可得+3，可得，即23成立【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用分析法和综合法，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题18.已知函数在和处取得极值.（1）求，的值.（2）求在内的最值.【答案】（1），（2）；【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，利用在和处取得极值，可得，-1和3是的两个根，利用韦达定理即可求解. （2）由（1）求出导函数，利用导函数求出函数的单调区间，进而可求出最值.【详解】（1）.由题可得的根为-1和3，解得.（2）由（1）得，和内单调递增；在内单调递减；又，；.【点睛】本题考查了函数的极值、利用函数的导函数求最值，解题的关键是求出
15、导函数，属于基础题.19.随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量（单位：千盒）与销售价格（单位：元/盒）满足关系式其中,为常数，已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒.（1）求的值； （2）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）【答案】（1）10；（2）当销售价格为元/盒时，商家每日销售所获得的利润最大【解析】【分析】(1)时，,代
16、入关系式得， 解得. (2)先求出每日销售外卖便当所获得的利润，再利用导数求它的最大值.【详解】（1）因为时，,代入关系式，得， 解得. （2）由（1）可知，外卖便当每日的销售量， 所以每日销售外卖便当所获得的利润从而. 令，得,且在上,，函数f(x)单调递增；在上，函数f(x)单调递减，所以是函数f(x)在内的极大值点，也是最大值点， 所以当时，函数f(x)取得最大值. 故当销售价格为元/盒时，商家每日销售所获得的利润最大.【点睛】(1)本题主要考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2) 利用导数解应用题的步骤：读题和审题，主要是读
17、懂那些字母和数字的含义;分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系（注意确定函数的定义域）；求函数的导数，解方程；如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明.20.已知函数，（其中，且），（1）若，求实数的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想【答案】（1）（2）猜想：；证明见解析【解析】【分析】（1）分别代入并化简，可得，即可求出答案；（2）猜想：
18、；分别代入表达式，化简并整理即可证明.【详解】解：（1）.因为函数与具有相同单调性，且都是单调函数，所以是单调函数.（2）由，猜想：.证明: .所以.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题.21.已知数列满足，.（1）求、；（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.【答案】（1），；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）根据数列满足，令求解.（2）根据、，猜想数列通项公式.用数学归纳法证明：第一步，验证时是否成立，第二步，假设时成立，.再论证时，成立即可.【详解】（1）数列满足，.则，.（2）猜想数列通项公式.用数学归纳法证明：（）时，成立，（）假设时成立，.则
19、时，.因此时，猜想成立.综上可得：数列通项公式，.【点睛】本题主要考查数学归纳法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）当时，的最小值是，求实数的值【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】试题分析：（1）求出函数导数，通过讨论的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）通过讨论的的取值范围，求出函数在上的单调区间，从而求出函数的最小值，确定实数的值试题解析：（1），当时，在上恒成立，则的单调递减区间为；当时，令，得，则的单调递减区间为（2）当a1时，f(x)在上单调递减，则；当a2时，f(x）在上单调递增，则，解得当时，在上单调递减，在上单调递增，则，解得，舍去综上，得点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了数形结合思想和推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用